Volym av cylinder

Sarahqurbani skrev:

Jag är lite osäker på hur jag ska sätta upp en integral för följande problem:

En cylinder x²+y²$\ge 1$ begränsas till första oktanten ,   x,y,z$\ge 0$.

Planet x+y+z=2 skär den, beräkna volymen av cylindern.

 

Jag tänker att man kan sätta 2-x-y till övre gräns och 0 till undre, men samtidigt vill jag ha polära koordinater pga cylinderns volym. Hur ska man kombinera detta?

Börja med att rita upp din kropp. Utan en bild är det svårt att sätta korrekta gränser.

Jag ställde upp en trippel-integral, med en som står för vinkeln en för radien och den sista för längden (Z-axeln) som begränsas av planet 2-x-y. r: 0-> 1,  $\theta$: 0-> 2$\pi$

Då fick jag sedan dubbel-integralen: $$\begin{gathered} {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1(2-\cos \theta -\sin \theta ) r dr d\theta = {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1 (2r-r\cos \theta -r\sin \theta ) dr d\theta \\ = {\int }_0^{2\pi }{\left[r²-r²(\cos \theta -\sin \theta )\right]}^{1_0 }d\theta = {\int }_0^{2\pi }(1-\cos \theta -\sin \theta ) d\theta ..... \end{gathered}$$

Jag kom tillslut fram till 2$\pi$. Verkar det stämma?

Gränserna för vinkeln verkar inte stämma. Det gällde väl den del av cylindern som låg i första oktanten. 

Juste! Tack för hjälpen jag löste den nu!