Volym av begränsat område flervariabelanalys

Försöker hitta volymen av området $D = \{(x, y, z) : z \geq y^{2}, y \geq x^{2}, x \geq z^{2}\}$ .

Ytorna har de gemensamma punkterna (0,0,0) och (1,1,1) så jag vet att x,y och z alltid är mellan 0 och 1. Från olikheterna ser jag att $y^{2} \leq z \leq \sqrt{x}$ så jag tänkte så här:

$V o l (D) = \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{g (x) = 1} \int_{y^{2}}^{\sqrt{x}} d z d y d x = \frac{2}{21} \neq \frac{1}{7}$ . Men om $0 \leq x \leq 1$ och $y \geq x^{2}$ så borde väl $x^{2} \leq y \leq 1$ ?

Jag har inte löst uppgiften, men tycker att integrationsgränserna ser felaktiga ut.

Alla begränsningar är av samma typ, y>x^2. Rita ut den i xy-planet. Nog borde väl alla övre gränser vara 1 ?

Jag tycker att resultatet jag fick från WolframAlpha känns konstigt. Borde inte gränserna vara symmetriska? Eller är de det, fastän det inte ser så ut?

$\displaystyle \int_{z=0}^1 \int_{x=z^2}^{z^\frac14}\int_{y=x^2}^{z^\frac12}dydxdz=\frac{1}{7}$

Jag kollade de tre ytorna på GeoGebra och där ser man tydligt att $y^{2} \leq z \leq \sqrt{x}$ och att $0 \leq x \leq 1$ men det finns också en överfunktion $y \leq g (x) \neq 1 .$

$z \geq y^{2} \Leftrightarrow \sqrt{z} \geq y$ men eftersom $x \geq z^{2} \Leftrightarrow \sqrt{x} \geq z$ så gäller $\sqrt{\sqrt{x}} \geq \sqrt{z} \geq y$ .

$V o l (D) = \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{\sqrt[4]{x}} \int_{y^{2}}^{\sqrt{x}} d z d y d x = \frac{1}{7}$ .

Svara

Visa senaste svar