volym

Börja att integrera i z-led. På grund av symmetrin kan du ta övre halvan och låta golvet vara z=0 och taket z=x^2+y^2.

$\int\int dx\, dy\int dz$ blir alltså $2\int\int x^2+y^2\, dx\, dy$ Här kan du gå över till polära.

okej blir det då $2\iint r^2\cos {\theta }^2+r^2\sin {\theta }^2$

Kan förenklas med trigonometriska ettan. Sen gäller också dxdxy = r drdfi.

okej, men jag är inte helt med på vad man ska svara på hur man kommer från trippelintegralen till dubbelintegralen.

En trippelintegral $\int\int\int dx\, dy\, dx$ brukar lösas genom att man börjar att integrera i z-led,

$\int\int dx\, dy\int dz$ och då ska gränserna för z vara från golv till tak. Den har man en dubbelintegral kvar och den ska vara över volymens projektion i xy-planet.

goljadkin skrev :

Sedan fick jag

$\iint {\int }_E\rho d\rho dadz={\int }_{\rho =0}^2\left({\int }_{a=0}^{2\pi }2\right(4+{\rho }^2+4\rho \cos a\left)da\right)\rho d\rho$

Jag ser i boken har dom bytt till cylindriska koordinater men jag är inte säker på varför.

Ditt uttryck är helt korrekt och den sista integralen ger volymen av kroppen, men jag antar att det är från ett exempel i boken och att du vill veta hur de kom fram till det.

Området som ges av $x^2+y^2\leq4x$ är en cirkelområde med mittpunkt i (2,0). Taket över området kan skrivas som $f(x,y)=x^2+y^2$

Din uppgift, om du väljer att anta utmaningen, är att integrera $f(x,y)=x^2+y^2$ över området S (området i cirkeln) och sedan multiplicera med 2 (av symmetri).

Eftersom området i xy-planet är cirkelformat är det rimligt att använda cylindriska koordinater för att kunna integrera f(x,y) över området på ett bekvämt sätt.

Du kan nu välja någon av de metoder du lärt dig, t.ex. koordinattransformation för att komma åt området S. Själv väljer jag en parameterframställning av ytan S,

$S:\mathbf{r}(\rho,\varphi),\quad(\rho,\varphi)\in D\subset R^2$, där

$\mathbf{r}(\rho,\varphi)=(2+\rho cos(\varphi), \rho sin(\varphi))$

$d\mathbf{S}=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \rho}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi}\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\varphi=\mathbf{\hat{z}}\rho \mathrm{d}\rho\mathrm{d}\varphi$

Volymen ges alltså av:

$2\int_S f\mathrm{d}S=2\iint_D f\left [ \mathbf{r} ( \rho,\varphi)\right]|d\mathbf{S}|=2\iint_D\left((2+\rho cos (\varphi))^2+(\rho sin(\varphi))^2 \right )\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\varphi$

Vilket är det uttryck du (eller boken) kom fram till ovan.

För att få cirkelcentrum till origo kan man substituera u=x-2. Det ger 2(u^2+y^2+4u+4) dudy. Termen 4u är udda och området är symmetriskt, så den kan vi stryka. Sen ger polära koordinater $2\int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^2 (r^2+4)r dr$.

okej då förstår jag lite mer, men hur kommer vi sedan från $2{\iint }_D\left(\right(2+\rho \cos \phi {)}^2+\left(\rho \sin \phi {)}^2\right)\rho d\rho d\phi$ till svaret som skall vara $48\pi$

Eftersom $\rho^2cos^2(\varphi)+\rho^2sin^2(\varphi)=\rho^2$ reduceras integralen till

$2\int_0^{2}\int_0^{2\pi}(\rho^3+4\rho+4\rho^2cos(\varphi))\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\rho=2\cdot2\pi\int_0^{2}(\rho^3+4\rho)\mathrm{d}\rho$

Där vi utnyttjat att integralen av cos hela varvet runt $2\pi$ naturligtvis är noll.

Slutligen

$4\pi\int_0^{2}(\rho^3+4\rho)\mathrm{d}\rho=4\pi\left[\frac{\rho^4}{4}+2\rho^2 \right ]_0^2=48\pi$

okej jag är med på det mesta där men det är ett steg jag inte är helt med på.

vi har $2{\iint }_D\left({\left(2+\rho \cos \left(\phi \right){)}^2+\left(\rho \sin \right(\phi \right)}^2\right)\rho d\rho d\phi$ där ${\rho }^2{\cos }^2\left(\phi \right)+{\rho }^2{\sin }^2\left(\phi \right)={\rho }^2$

då har vi ju alltså $2{\iint }_D(2+{\rho }^2)\rho d\rho d\phi$

men hur vi sedan kommer från den dubbelintegralen till $\left({\rho }^3+4\rho +4{\rho }^2\cos \left(\phi \right)\right)$

Nja, det kan vara lätt att missa att det faktiskt står $(2+\rho cos(\varphi))^2$, dvs två termer som kvadreras enligt regeln $(a+b)^2 = (a^2+2ab+b^2)$

$(2+\rho cos(\varphi))^2 = 4+4\rho cos(\varphi)+\rho^2 cos^2(\varphi)$

Vi lägger till  sin-termen och bryter ut $\rho^2$

$(2+\rho cos(\varphi))^2 + \rho^2sin^2(\varphi)= \rho^2\left(sin^2(\varphi)+cos^2(\varphi) \right )+4+4\rho cos(\varphi)$

Nu ser vi att vi kan utnyttja den trigonometriska ettan (sin^2 +cos^2 =1) Alltså har vi integralen

$2\iint_D\left( \rho^2+4+4\rho cos(\varphi)\right )\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\rho$

Sedan multiplicerar vi in $\rho$ och beräknar dubbelintegralen. Notera att cos-termen "dör" eftersom intervallet är $0-2\pi$.