Visst tänker jag rätt?

$y = Ca^x$ är en bra start. De givna värdena kan du använda som datapunkter (x, y) att sätta in i den här ekvationen, och på så sätt kan du få fram vad C och a har för värden. Har du en idé då om hur du kan komma igång?

Jag tänker mig att jag ska använda y=80000 och x=10 år?

Mja, inte samtidigt - de två värdena är inte hopkopplade. Efter 10 år var befolkningen 74 172, så du kan använda (10, 74 172) som en punkt ekvationen måste uppfylla. Detta kan alltså sättas in:

$74 172 = Ca^{10}$

På samma sätt kan du använda ursprungsvärdet 71 652 (vilket x-värde är det värdet kopplat till?). Då har du sen två ekvationer och två okända, så C och a kan bestämmas. Då har du hela funktionen sen, och kan lista ut vilket x som är kopplat till y-värdet 80 000.

71652 kan kopplas ihop till 2000? Eller? Känner mig ganska lost runt alla siffror.. Eller kopplas 71652 ihop med skillnaden på 74172-71652=2520 alltså så kopplas det ihop med 2520?

Det man parar ihop här är årtal och befolkningsmängd:

År 2000 fanns 71 652 Luleåbor

År 2010 fanns 74 172 Luleåbor

Ofta byter man dock ut årtalen för att få mindre tal att jobba med, så $x$ får beskriva "antal år efter start". Det börjar alltså på $x=0$, medan år 2010 motsvarar $x=10$. Så vilka ekvationer har du om du sätter in (0, 71652) och (10, 74172) i exponentialekvationen?

Det jag får fram först är 

$$\begin{gathered} 74172=C\times a^{10} \\ 71652 = C\times a^{0 } \\ Men den sista raden kan jag väl skriva om som \\ 1\times C\times {71652}^0 \\ Eller? \\ Och därefter skriva \\ 74172=\hspace{0.17em}C\times {71652}^{10} \end{gathered}$$

Eller är det nu jag ska få in skillnaden - alltså 2520?

Du är väldigt intresserad av den där skillnaden, 2520. Den behövs inte! Det kanske kommer ur när man bestämmer linjers ekvationer, då man använder skillnaden för att bestämma lutningen? 

Hur som helst: Ja, den andra ekvationen kan förenklas. Allt (utom noll) som höjs till noll blir 1, så $a^0 = 1$. Då har du att:

$71652 = Ca^0 \quad \Leftrightarrow \quad C = 71652$

Det ger dig alltså värdet på C. Och notera att det är startvärdet! Det här kan man komma ihåg till nästa gång: På samma sätt som m-värdet på en linje beskriver var linjen börjar (dvs, y-värdet där y-axeln skärs) så beskriver C-värdet i en exponentialkurva var kurvan börjar (var y-axeln skärs). Så om du har startvärdet givet, då har du C.

Men nu när du vet C så kan du sätta in det i den första ekvationen, och då är $a$ den enda okända där. Kan du lösa den ekvationen?

Ekvationen är då alltså $$\begin{gathered} 74172=71652\times a^{10 } \\ Och för att få fram a måste jag väl dela så det ser ut såhär? \\ a = {(74172/71652)}^{1/10} \end{gathered}$$

Och då blir svaret 1,4129 så blir a = 1,4129?

Uttrycket ser bra ut, men jag får ett annat svar.

Men då har du hela funktionen sedan. Kom ihåg vad frågan var: "När kommer befolkningen nå 80 000?" Har du en idé om hur funktionen kan användas för att besvara den?

Jag glömde skriva in 1/10 och skrev bara in 10, men när jag gör om det nu får jag svaret 1,003.

Så a=1,003 och det är det svaret jag måste få in i funktionen nu. 

Blir det då $$\begin{gathered} y=80000 x 1,{003}^{10} \\ eller blir det \\ y=80000 x 1,003 \end{gathered}$$

Kom ihåg vad de olika delarna betyder:

$y = C\cdot a^x$

Befolkning = Startvärde * förändringsfaktor^{år efter start}

Startvärdet har inte ändrats, det är fortfarande 71 652. Det är $y$ som är 80 000, och du vill ta reda på vilket x-värde som motsvarar det y-värdet.

Så, för att få fram det ska jag då ta $80000/71652\times 1,{003}^{10} för att få fram vad x är?$

För att då får jag fram att svaret blir 1,15 och då betyder det att det kommer ske efter 1 år och 1 månad?

Naj, du ska alltså lösa ekvationen $80000 = 71652 \cdot a^x$. Har ni gått igenom logaritmer? Annars får du nog lösa den grafiskt eller numeriskt, dvs. med räknaren. 

Om jag då tar log(80000 x 71652) får jag svaret 9,75831 Men det känns inte rätt

Nej, ekvationer löser man genom att flytta runt saker tills x:et står ensamt. Börja med att få a^x ensamt, genom att dividera bort C-värdet:

$71652 a^x = 80 000 \\ a^x = \frac{80 000}{71652}$

Sedan kan du logaritmera båda led och få ut x:et med hjälp av en logaritmlag.

en fråga - är a:et det jag tidigare fick ut alltså 1,003 så det blir $$\begin{gathered} 1,{003}^x=80000/71652 \\ Så det blir \\ 1,{003}^x= 1,12 och på det sättet kan jag sedan ta \\ 1,12/1,003 = 1,11 och sedan ta roten ur det? \\ \sqrt{1,11 =1,056} \end{gathered}$$

Ja, a:et är det du räknade fram tidigare. Jag låter det stå som $a$ för att 1.003 är ett avrundat värde, och man bör undvika att avrunda innan man kommit till sitt slutgiltiga svar. Annars kan avrundningsfelet blåsas upp i beräkningar vilket ger en helt fel till slut, även om man i övrigt gjort rätt. På alla de flesta räknare kan man spara värden för att plocka fram senare i en annan beräkning, det här a-värdet är ett bra tillfälle att använda den funktionen.

Låt mig även ge kvoten 80 000 / 71652 ett namn, typ $k$. Bara så det blir mindre att skriva och läsa. Ekvationen mitt förra inlägg slutade vid är alltså

$a^x = k$

Härifrån försöker du dividera bort a:et (1.003), men det går inte. Jag försöker visa varför i spoilerboxen.

Istället kan vi ta logaritmen ur båda led:

$\lg(a^x) = \lg(k)$

Poängen med det är att det finns en logaritmlag som säger att $\lg(a^b) = b\cdot \lg(a)$. Vi kan alltså plocka ut x:et:

$x\cdot \lg(a) = \lg(k)$

Och då har vi nästan löst ekvationen. Vi vill ha x ensamt, så vi måste bli av med lg(a). Eftersom den är multiplicerad till x:et, kör vi motsatslogiken och dividerar båda led med lg(a). Då försvinner den från vänstersidan och vi får x ensamt:

$x = \dfrac{\lg(k)}{\lg(a)}$

Nu är det bara att byta bort k och a mot de värden de har.

När jag tar detta så får jag fram $x=\frac{1,116507564}{1,003462546}= 31,8829708035 \approx 32$

Och då får jag fram om jag sätter in alla dessa siffror rätt att ekvationen blir $71652\times 1,{003462546}^{32}=80032,36805$

Verkar rimligt! Så vad är ditt svar på frågan?

Att det kommer ha ökat om 1 och 1 månad och kommer då ligga på 80032 personer? 
Så alltså 2011 - kommer det ligga på 80032?

Nu tappade du mig. Vad tänker du att x-värdet du räknade fram betyder?

Det är nog jag som missförstått det, jag tänker att x är år?

Ja precis, och x blev ju 32 när vi satte befolkningen till 80 000. Så 32 år från start räknar vi med att befolkningen når 80 000. 

Tack snälla för all hjälp!! :)