Visning kommentar

Päivi skrev :

Snyggt Päivi.

Min enda kommentar är att du har för många värdesiffror i svaren (och att du löste sista uppgiften algebraiskt istället för grafiskt).

Speciellt svaret på c-uppgiften, antalet bakterier kan endast vara ett heltal :-)

Snyggt ritat och bra med tydliga bilder, guldstjärna. $\mathbf{★}$

Jag löste det också grafiskt, men visade inte upp värdetabellerna, Yngve. 

Visst kan jag visa dem. 

Ojojoj vad du har kämpat Päivi!

Inte kan jag rita grafen utan värdetabellerna, Yngve. 

Nej det är såklart. Men ditt faktiska svar var ju baserat på en algebraisk uträkning och inte en grafisk metod.

Vill du ha tips på hur du kan minska antalet beräkningar i värdetabellen?

Ja, det vill jag, Yngve. 

OK när du ritar grafen räcker det med att du ritar den detaljerat nära själva lösningen.

Hur grafen ser ut långt bort från lösningen är inte så intressant.

Ett enkelt och intuitivt sätt att snabbt hitta inom vilket område lösningen finns är att försöka att "stänga in" lösningen inom ett intervall och att sedan steg för steg minska storleken på detta intervall.

Ekvationen lyder:

$1000000=100000·1,4^x$

Detta kan skrivas som

$\frac{1000000}{100000}=1,4^x$

$1,4^x=10$

Du letar alltså efter det värde på x som gör att $1,4^x=10$

Vi börjar med att försöka hitta två värden på x som ligger på var sin sida av lösningen, dvs ett värde på x som är mindre än lösningen och ett värde på x som är större än lösningen.

Vi börjar med enkla siffror, vi prövar x = 0 och x = 20 och ser vad $1,4^x$ har för värde för dessa x-värden:

$\left\{\begin{array}{ll}x=0& 1,4^0=1\\ x=20& 1,4^{20}\approx 837\end{array}\right.$ 

1 < 10 och 837 > 10, alltså är x = 0 mindre än lösningen och x = 20 större än lösningen. Lösningen finns alltså i intervallet $\left[0; 20\right]$.

Nu kommer tricket: Vi delar upp detta intervall i två lika stora delar och kontrollerar i vilket delintervall lösningen finns.

För att avgöra i vilket delintervall lösningen finns kontrollerar vi värdet på $1,4^x$ i intervallets mittpunkt, dvs då x = 10: $1,4^{10}\approx 29$. 

1 < 10 och 29 > 10, alltså är x = 0 mindre än lösningen och x = 10 större än lösningen. Lösningen finns alltså i intervallet $\left[0; 10\right]$.

Vi har nu "stängt in" lösningen i ett intervall som är hälften så stort som det tidigare intervallet.

Nu fortsätter vi på samma sätt, delar in även detta intervall i två lika stora delar och kontrollerar i vilken del lösningen finns.

För att avgöra i vilket delintervall lösningen finns kontrollerar vi värdet på $1,4^x$i intervallets mittpunkt, dvs då x = 5: $1,4^5\approx 5,4$.

5,4 < 10 och 29 > 10, alltså är x = 5 mindre än lösningen och x = 10 större än lösningen. Lösningen finns alltså i intervallet $\left[5; 10\right]$.

Vi har nu "stängt in" lösningen i ett intervall som är ytterligare hälften så stort som det tidigare intervallet.

Nu fortsätter vi på samma sätt, delar in även detta intervall i två lika stora delar och kontrollerar i vilken del lösningen finns.

För att avgöra i vilket delintervall lösningen finns kontrollerar vi värdet på $1,4^x$ i intervallets mittpunkt, dvs då x = 7,5: $1,4^{7,5}\approx 12,5$.

5,4 < 10 och 12,5 > 10, alltså är x = 5 mindre än lösningen och x = 7,5 större än lösningen. Lösningen finns alltså i intervallet $[5; 7,5]$.

Om vi fortsätter på samma sätt så kommer vi att stänga in lösningen i ett intervall som efter varje iteration är hälften så stort som det tidigare intervallet och vi avslutar när vi tycker att vi har uppnått tillräckligt god noggrannhet.

De följande mittpunkterna, värdena och nya intervallen blir:

$\begin{array}{ccc}\mathit{x}& \mathbf{1}\mathbf{,}{\mathbf{4}}^{\mathbf{x}}& \mathit{I}\mathit{n}\mathit{t}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{v}\mathit{a}\mathit{l}\mathit{l}\\ \mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{25}& \approx 8,2& [\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{25}; 7,5] \\ \mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{875}& \approx 10,107& [6,25; \mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{875}]\\ \mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{5625}& \approx 9,098& [\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{5625}; 6,875]\\ \mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{71875}& \approx 9,5895& [\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{71875}; 6,875]\\ \mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{796875}& \approx 9,84496& [\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{796875}; 6,875][\end{array}$

Om vi nu vill avbryta så är ett närmevärde till lösningen det sista intervallets mittpunkt, dvs $x\approx 6,8359375$. Felet i detta närmevärde är max halva intervallbredden, dvs $\pm 0,0390625$.

Dessa siffror ska såklart rundas av till lämpligt antal värdesiffror.

Vi har kommit fram till detta närmevärde efter endast 10 beräkningar av $1,4^x$.

Detta är en numerisk metod för att hitta ett närmevärde på en lösning till ekvationen.

Metoden kallas inte oväntat för intervallhalveringsmetoden. 

Det finns även andra numeriska metoder som är snabbare och bättre, men jag valde denna för att den är enkel att förstå och använda även i andra sammanhang, då det gäller att snabbt gissa lösningar på problem.

Tack Yngve för detta!