Visa vad arean av S är med ytintegral

Uppgiften är "en del S av konen med ekvation x²+y²=z² ligger över xy-planet och dess projektion på xy-planet har area B. Visa att arean av S är $\sqrt{2}$ B.

Jag har ritat en bild och där ser man att projektionen av S på xy-planet är en cirkel med centrum i origo och eftersom att arean av den är B så måste radien vara $\sqrt{B / π}$ .

Jag började att parametrisera konen med x och y så att jag fick r(x,y) = (x, y, $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ), sen beräknade jag areaelementet som vart $\sqrt{2}$ . Jag har hittils kommit till:

$\int_{S} \int (x^{2} + y^{2} - z^{2}) d S = \int_{D} \int f (r (x, y)) \sqrt{2}$ dA, men det är där jag fastnar. Vad blir f(r(x,y))? Jag tänkte att det skulle bli (x² + y²- ( $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ )^2) men då blir integralen noll vilket den inte ska bli.

Nja , du ska beräkna $S=\iint dS$ . Eftersom $dS=\sqrt{2}\, dxdy$ , får du att

$\iint dS=\iint \sqrt{2}\,dxdy$ osv.

dr_lund skrev:
Nja , du ska beräkna $S=\iint dS$ . Eftersom $dS=\sqrt{2}\, dxdy$ , får du att
$\iint dS=\iint \sqrt{2}\,dxdy$ osv.

Okej men hur vet man det att S = $\iint$ dS? jag tänkte att det var det jag skulle komma fram till

När du bara är intresserad av arean är funktionen du vill integrera över ytan helt enkelt $f=1$ .

Dvs $f(\mathbf{r}(x,y))=1$

Då blir integralen

$\displaystyle \int_S f\,\mathrm{d}S=\iint _Df(\mathbf{r}(x,y))\,\sqrt{2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint _D\sqrt{2}\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

Svara

Visa senaste svar