Visa sambandet

Vill ha hjälp med uppgiften.

Päivi skrev :

Vill ha hjälp med uppgiften.

Hur har du börjat?

tips! cos 2A = cos (A+A)

Hej!

Eftersom $2A = A+A$ så ger additionsformeln för Cosinus-funktionen  (formeln på näst sista raden i ditt inlägg) att 

    $\displaystyle \cos(A+A) = \cos^2A - \sin^2A.$

Sedan kan du använda Trigonometriska Ettan (som är formeln på sista raden i ditt inlägg) för att fullborda härledningen.

Albiki

Det är ju minus alltihop. 

Hur ska jag gå tillväga med detta?

Du har kommit fram till

$\cos (A+A)={\cos }^{2 }\left(A\right)-{\sin }^2\left(A\right)$

sen vet vi att cos^2+sin^2 = 1 dvs sin^2 = 1-cos^2 

ersätt alltsån sin^2 med (1-cos^2 ) 

Var noga med parentesen!!

Ska jag plocka ettan andra sidan av likhets tecknet? 

( 1- sin^2) - (1- cos ^2) -1

minus tecknet mellan parentesen gör att minus tecknet i andra parentesen ändrar till plus tecken. Hur blir det med - 1 som är åt höger om parentesen? 

Nej, du ska ersätta sin^2 med 1-cos^2

dvs

$\cos (A+A)={\cos }^{2 }\left(A\right)-{\sin }^2\left(A\right) = {\cos }^{2 }\left(A\right)-(1-{\cos }^{2 }(A\left)\right)$

Förenkla ledet till höger om sista likhetstecknet så kommer du vidare

cos (A + A)

cos(A)cos(A) - sin(A)sin(A)

detta blir

cos^2   -    sin^2

cos^2 ersätt med (1 - sin^2)

sin^ 2     ".        ".    (1  - cos ^2)

Nu plockar jag fram ursprungliga med ändrade saker. 

( 1 - sin ^2)  -  ( 1  -  cos ^2)  - 1

1 - sin^2  -   1 + cos ^ 2  -  1

1-1 tar ut varandra. 

Det blir 

-sin ^2 + cos ^2 -1= 0

här strular det. 

1- sin ^2 - 1+ cos ^2 -1=

jag kan flytta cos och sin andra sidan 

1-1-1= sin^2- cos ^2

kan du hjälpa mig?

$$\begin{gathered} \cos (A+A)={\cos }^2 \left(A\right)-{\sin }^2\left(A\right) = {\cos }^2 \left(A\right)-(1-{\cos }^2 (A\left)\right) \\ Multiplicera in -1 i parentesen: \\ \Rightarrow \cos (A+A) ={\cos }^2 \left(A\right)-1+{\cos }^2 \left(A\right) \\ \Rightarrow \cos (A+A) =2{\cos }^2 \left(A\right)-1 \\ VSV \end{gathered}$$

Kolla det här. 

Felet du gör är att ersätter ${\cos }^{2}x$ med $1 - {\sin }^{2}x$, det är endast ${\sin }^{2}x$ du ska ersätta med $1 - {\cos }^{2}x$. Precis som Ture har visat dig.

Jag trodde att det skulle bli trig ett. Nu är jag bra vimsig här. 

Du vill komma fram till sambandet $\cos 2A = 2 \cos^2 A -1$, d v s ett uttryck som bara innehåller cosinustermer, inte några sinustermer. Du har kommit fram till att $cos 2 a = cos^2A -sin^2A$, ett uttryck som innehåller både cosinus- och sinus termer. Men du har också trig ettan - du vet att $six^2x$ är precis samma sak som $1 - cos^2x$. Byt nu ut $sin^2A$ i uttrycket $\cos 2A = 2 \cos^2 A -1$ mot $1 - cos^2x$. Visa hur det blir när du kommit så långt, innan du förenklar sista biten.

Hur menar du?

cos2(A)= cos ^2A - 1

byte

sin^(A)= cos^2(A) - 1

menar du något sådant? 

sin^2(A)= cos ^2(A) - 1

menar du något sådant. 

Jag vet att

sin^2(x) +cos2(x) = 1

jag vet att 

sin^2(x) kan man byta till 1- cos ^2

sedan kan byta

cos^2(x) till 1- sin^(x)

cos 2(A)= 1- sin^2(A) - 1

menar du så eller vad menar du?

Hela lösningen finns i Tures senaste inlägg. Är du med på stegen i den lösningen? 

Med additionsformeln får man fram ett uttryck med sin och cos båda i kvadrat. sinkvadrat-termen kan via trigettan bytas ut mot cos-kvadrat och lite annat. 

Uttrycket kan också skrivas 

cos(2A) = 1 - 2*sin^2(A)

(men det skulle man inte göra för att lösa den här uppgiften) 

Ture skrev :

$$\begin{gathered} \cos (A+A)={\cos }^2 \left(A\right)-{\sin }^2\left(A\right) = {\cos }^2 \left(A\right)-(1-{\cos }^2 (A\left)\right) \\ Multiplicera in -1 i parentesen: \\ \Rightarrow \cos (A+A) ={\cos }^2 \left(A\right)-1+{\cos }^2 \left(A\right) \\ \Rightarrow \cos (A+A) =2{\cos }^2 \left(A\right)-1 \\ VSV \end{gathered}$$

Hänger du med på de olika stegen i Tures lösning?

Uppgiften är att du skall börja med likheten cos(u+v) = cosucosv - sinusinv och komma fram till sambandet $cos2A = 2cos^2A -1$. Som ledtråd har du fått veta att du skall ta trig ettan till hjälp.

Du skall börja med att sätta in u=A och v=A i formeln cos(u+v) = cosucosv - sinusinv. Eftersom u = v = A kan su skriva $sin^2A$ i stället för sinAsinA (och likadant för cosinus). Är du med så långt?

cos (A + A) = cos(A)cos (A) - sin(A)sin(A)  

cos (A + A) =  cos^2(A)  -   sin^ 2(A)

       byte sin^2(A) mot.   1 - cos^2(A)

               Det blir   cos^2(A) - ( 1 - cos ^2(A) )

 var har vi här - 1 som måste multipliceras in i parentesen? 

cos ^2(A) - ( 1 - cos ^ 2(A)) * (-1) då blir 

cos ^2(A) - ( -1*1 - cos ^2(A)* (-1)) det blir

jag har multiplicerat in -1 in i parentesen,

cos ^2(A) - ( -1 + cos ^2(A) )

cos^2(A) när vi har minus mellan parentesen ändrar tecken inne i parentesen. 

cos ^2(A) - 1 - cos ^ 2(A)

Så här långt är jag. 

2 cos ^2(A) - 1

ändrar man cos ^2(A) får man 1- sin^2(A)

Nu får ni fortsätta!

Ja, det är jag med. 

cos^2(A) - ( 1 - cos ^2(A) )     ta bort parentesen

cos^2(A) -  1 + cos ^2(A)      addera de båda coskvadraterna

2cos^2(A) -1    klart

Märker du av att jag har inne i parentesen -1

se här 

(   -  1  + cos ^2(A) )

vi har före parentesen ett minus tecken, när jag har multiplicerat in -1 det som fanns inne i parentesen

det blir sådan här förändring. 

-    (   - 1   +   cos ^ 2 (A) )

ändringen har blivit nu, se här nedan om vi nu plockar bort parentesen, 

-   1  -  cos ^ 2 (A)  är förändringen efter att man har multiplicerat in - 1 in i parentesen och sedan plockar bort parentesen, 

se att det blir  -  cos ^2(A)

kolla det här, 

minus tecken gör som är före parentesen att alla tecken inom parentesen ändrar tecken. 

Nu får du fortsätta förklara. 

 Se här. 

3  *  (  -1 )  =  - 3

-  3   *    (   -   1 ) =.  + 3

 två minus tecken ger plus. Ett minus tecken ger ett minus om det ska multipliceras. 

Hur har du fått fram parentesen$(-1 + cos^2$A)?  Om du får den från trig ettan, skall den ha ett minustecken framför sig, alltså $sin^2A = -(-1 + cos^2A)$, vilket är ett onödigt krångligt sätt att skriva $sin^2A = 1- cos^2A$.

Om du plockar bort parentesen från - ( - 1 + cos ^ 2 (A) ) får du 1-cos^2A, eftersom de båda minustecknen i början blir ett plus tillsammans.

Jag berättar, hur jag har fått parentesen. 

Se här nedan!

sin^2(A)   Om vi nu ändrar denna till se här nedan. 

1  -  cos ^ 2(A ).  Det här sätter jag nu inom parentesen.  Då blir det det så här. 

(  1  -   cos ^ 2(A) ). Nu är allting inne i parentesen.  Sedan har vi  -  1 utanför som skall multipliceras med det som finns inom parentesen.  Då får vi 

- (  -  1   -   cos ^2(A)  ) gånger  (  -  1 )

nu multiplicerar vi in (  -  1 ) med parentesen. 

Vi har ett minus tecken framför parentesen. Sedan ändrar alla tecken som finns inne i parentesen. 

Resultatet av detta blir om vi nu plockar bort parentesen. 

-  (  1  +  cos^2(A) ) det som finns nu inne i parentesen ändrar tecken.  Det blir

-   1 -   cos ^ 2(A)

förstår du nu, vad jag menar? 

Ursäkta röran. 

-  ( 1 - cos ^ 2 (A) gånger ( -1 ) det blir 

-  ( - 1 som kommer in, när vi har multiplicerat med - 1.  Samma sak gäller när vi multiplicerar - cos (A) med ( - 1 )

då får vi. 

-  (  - 1  +  cos^2 (A). ) eftersom vi har ett minus tecken före parentesen, ändrar alla tecken inom parentesen. 

Nu plockar vi bort parentesen. 

Vi har två  - tecken, det blir + 1. Vi har  plus tecken före cos ^2(A) då när vi plockar bort plus cos ^2(A) blir det  minus cos^2(A) alltså det blir 

-1 - cos ^2(A)

förstår du nu, vad jag menar? 

Jag har plockat bort ett minus tecken, när det fanns - 1 inom parentesen. Det som finns inom parentesen, de tecknen skall ändras. 

Vi har före parentesen ett minus tecken som påverkar parentesens tecken, när vi har plockat bort parentesen. Då får kvar ett minus tecken . 

Det som finns inom parentesen alltså - 1, det blir +1, men vi har ett minus före parentesen, då blir det - 1 kvar. 

Nej, du rör ihop dina minustecken så att det inte blir någon ordning på det alls. Man kan inte sätta dit och plocka bort minustecken hur som helst, som du verkar göra.

Om du multiplicerar$(1-cos^2A)$ med (-1) får du $-1-(-cos^2A) = -1 + cos^2A = cos^2A -1$. Den ena termen är positiv, den andra är negativ. De båda termerna har olika tecken, ochdet kan du inte ändra på genomatt multiplicera med -1.

Jag ska försöka förklara detta med ett papper. Hoppas du förstår då. 

Första minus tecknet inom parentesen tillsammans med minus tecknet utanför parentesen blir + så menar du. 

När man multipliceraren parentes med t ex (-1) måste man multiplicera HELA parentesen med (-1) (eller vad det nu är).

Varför vill du multiplicera din parentes med -1 över huvud taget? Om det är för att du har ett minustecken framför den, måste du antingen bara ta bort parentesen (och byta tecken på varje term) eller skriva om minustecknet till +(-1)(...) vilket är en mycket krångligare väg.

Du gör fel, helt enkelt. Värdet efter dina manipulationer är inte detamma som det var innan.

Päivi skrev :

Hej!

På rad 8 i ovanstående bild har du skrivit att

    $\cos 2A = \cos^2A - \sin^2A -1.$

Varför, varför, varför har du skrivit dit $-1$?

På rad 7 skrev du helt korrekt att

    $\cos 2A = \cos^2A - \sin^2 A.$

Sedan skriver på rad 8 att

    $\cos2A = \cos^2A - \sin^2A - 1$

och ber Pluggakuten förklara alla felaktigheter som följer av att du sätter dit  $-1$?

Albiki

Hur får jag trig ettan här. 

Ture skrev :

$$\begin{gathered} \cos (A+A)={\cos }^2 \left(A\right)-{\sin }^2\left(A\right) = {\cos }^2 \left(A\right)-(1-{\cos }^2 (A\left)\right) \\ Multiplicera in -1 i parentesen: \\ \Rightarrow \cos (A+A) ={\cos }^2 \left(A\right)-1+{\cos }^2 \left(A\right) \\ \Rightarrow \cos (A+A) =2{\cos }^2 \left(A\right)-1 \\ VSV \end{gathered}$$

För tredje eller fjärde gången - här har du det steg för steg. Är det krångligt någonstans? Fråga igen i så fall.