Visa samband mellan skalärprodukten av hastighet och acceleration och fart

Hej, har stött på lite problem med en fråga i Calculus-boken som lyder så här:

"Show that if the dot product of the velocity and acceleration of a moving particle is positive (or negative), then the speed of the particle is increasing (or decreasing)."

Om jag t.ex. ritar upp två vektorer, $\bar{a}$ och $\bar{v}$ och kikar på deras skalärprodukt $\bar{a} \cdot \bar{v} = |\bar{a}| |\bar{v}| \cos (θ)$ så känns det självklart att farten skulle minska om skalärprodukten är negativ (eftersom de två vektorerna då har olika riktning) och öka om den istället är positiv (vektorerna pekar båda i positiv riktning), jag förstår mig dock inte alls på hur man har valt att visa det här i facit på följande sätt:

$\frac{d}{d t} {|\bar{v}|}^{2} = \frac{d}{d t} \bar{v} \cdot \bar{a} = 2 \bar{v} \cdot \bar{a}$

$|\bar{x}|$ är alltså normen av $\bar{x}$ och $\cdot$ symbolen för skalärprodukten.

Någon som förstår sig på detta och skulle kunna erbjuda lite insight?

Tack på förhand!

Du har att

$v^{2} = v \cdot v$

Är du med på att en skalärprodukt deriveras med produktregeln enligt

$\frac{d (v \cdot v)}{d t} = v \cdot \frac{d v}{d t} + \frac{d v}{d t} \cdot v = 2 v \cdot a$

Så $\frac{d v}{d t} (v \cdot v) \Leftrightarrow \frac{d v}{d t} {|v|}^{2}$ ?

Yes, produktregeln så som du ställer upp den är jag helt med på, det är den första uppställningen som förvirrar mig, samt hur $\frac{d}{d t} v \cdot a = 2 v \cdot a$

Hej!

Partikelns fart är lika med hastighetsvektorns längd, $|v(t)|\ .$ Denna kan uttryckas med skalärprodukten $|v(t)|^2 = v(t) \cdot v(t)\ .$ Derivera detta med avseende på tiden $t$ för att få resultatet

$\frac{d |v(t)|}{dt} = v(t) \cdot a(t)$

där $a(t)$ betecknar accelerationsvektorn.

Nu ser du direkt att om skalärprodukten $v(t) \cdot a(t)$ är positiv så ökar farten, och om skalärprodukten är negativ så saktar partikeln ner.

Albiki

Minounderstand skrev :
Så $\frac{d v}{d t} (v \cdot v) \Leftrightarrow \frac{d v}{d t} {|v|}^{2}$ ?
Yes, produktregeln så som du ställer upp den är jag helt med på, det är den första uppställningen som förvirrar mig, samt hur $\frac{d}{d t} v \cdot a = 2 v \cdot a$

Den första ekvivalensen gäller då en vektor skalärt med sig själv är samma sak som vektorns belopp I kvadrat. (se din formel i originalinlägget, theta = 0 mellan v och v)

Sista likheten förstår jag inte alls och den stämmer inte dimensionsmässigt.

Oops, felskrivning av mig, ska vara $\frac{d}{d t} v \cdot v$ förstås som blir $2 v \cdot a$ , måste ha antecknat fel. Nice, men då stämmer det!

Tack för hjälpen!

Albiki skrev :
Hej!
Partikelns fart är lika med hastighetsvektorns längd, $|v(t)|\ .$ Denna kan uttryckas med skalärprodukten $|v(t)|^2 = v(t) \cdot v(t)\ .$ Derivera detta med avseende på tiden $t$ för att få resultatet
$\frac{d |v(t)|}{dt} = v(t) \cdot a(t)$
där $a(t)$ betecknar accelerationsvektorn.
Nu ser du direkt att om skalärprodukten $v(t) \cdot a(t)$ är positiv så ökar farten, och om skalärprodukten är negativ så saktar partikeln ner.
Albiki

Notera att när hastighetsvektorn är vinkelrät mot accelerationsvektorn -- till exempel när partikeln utför en centralrörelse lik Jorden när den roterar runt Solen -- så är farten konstant.

Ah, jo, rent visuellt så verkar det rimligt. Då blir ju skalärprodukten 0!

Är lite nyfiken på ditt tidigare inlägg dock, hur exakt får jag $\frac{d}{d t} {|v|}^{2} = 2 a \cdot v$ till $\frac{d}{d t} |v| = a \cdot v$ ?

Tycker det här är himla krångligt.

Svara

Visa senaste svar