Visa räknelag för absolutbelopp

Upg: Visa räknelagen $\left|zw\right| = \left|z\right|\left|w\right|$för komplexa tal med hjälp av sambandet ${\left|z\right|}^2=z\overline{z}$

Där $\overline{z}$ är konjugatet av z.

Jag tycker inte att uppgiften i sig var så klurig:

$$\begin{gathered} {\left|zw\right|}^2=zw\overline{zw}=zw\overline{z}\overline{w}=z\overline{z}w\overline{w}= {\left|z\right|}^2{\left|w\right|}^2 \iff \\ \sqrt{{\left|zw\right|}^2}=\sqrt{{\left|z\right|}^2{\left|w\right|}^2}=\sqrt{{\left|z\right|}^2}\sqrt{{\left|w\right|}^2}\iff \\ \left|zw\right|=\left|z\right|\left|w\right|, vsv \end{gathered}$$

(Är det en godkänd redovisning? Är det korrekt användning av vsv, eller reserveras det för satser?)

Det jag undrar är lite runtikring:

En sak jag inte vet om jag greppar helt med detta:

Jag vet sen innan att $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$

Men här, förutsatt att jag gjort korrekt visning, blir det ju  $\sqrt{{\left|x\right|}^2}$.

Resulterar då detta i det enkla svaret $\sqrt{{\left|x\right|}^2}=x$eller $\sqrt{{\left|x\right|}^2}=\left|x\right|$ eller blir det något i stil med $\sqrt{{\left|x\right|}^2}=\left|\left|x\right|\right|$ ?

Jag tror att jag har sett dubbla absolutbeloppstecken förr, men har ingen aning hur jag ska tolka eller beräkna dem.