visa om en matris är inverterbar samt om matrisen är expansiv

a) Jag har tänkt så här, för att i uppgiften står det att vektornerna x är nollskilda i Rn, vilket betyder att x är eigen vektorerna. Så om x är ett eigenvektor så kan eigenvärdet till x vara 1. så låt 1 vara eigenvärdet och eigenvektorn vara en enhetsvektor. detta medför att llA*1ll > ll 1 ll enligt uppgiften men detta stämmer inte därmed så kan A-I_n inverteras eller har jag fel?

b)om en A är expansiv menar de att eigenvärden inte kan vara 1, eftersom om eigenvektorn norm är lika med ett så betyder det att llAxll = llxll vilket inte går om A ska vara expansiv. det stämmer väl?

c) ingen aning hur jag ska börja.

a)
Om vi har en matris A vars alla egenvärden är >1. Detta betyder att det(A- $λ I_{n}$ )=p( $λ$ ) =0 (*) karakteristiska ekvationen har endast lösningar som är >1, dvs $λ_{i} > 1 f ö r a l l a 1 < i \leq n$

Om vi kollar nu på karakteristiska polynomet för matrisen $A - I_{n}$ , dvs det( $A - I_{n} - λ' I_{n}$ )=det(A- $(λ' + 1) I_{n}$ )= p( $λ' + 1$ ).

p( $λ$ )=0 har lösningar där $λ$ >1 vilket betyder att p( $λ' + 1$ )=0 har lösningar där $λ' + 1 > 1$ vilket betyder att $λ' > 0$ .

Vi har visat att matrisen A-I har nollskilda egenvärden, vilket betyder att den är inverterbar.

b) är en direkt resultat av a). Expansiv matris har $|e g e n v ä r d e n|$ >1.

Mohammad Abdalla skrev:
a)
Om vi har en matris A vars alla egenvärden är >1. Detta betyder att det(A- $λ I_{n}$ )=p( $λ$ ) =0 (*) karakteristiska ekvationen har endast lösningar som är >1, dvs $λ_{i} > 1 f ö r a l l a 1 < i \leq n$

Om vi kollar nu på karakteristiska polynomet för matrisen $A - I_{n}$ , dvs det( $A - I_{n} - λ' I_{n}$ )=det(A- $(λ' + 1) I_{n}$ )= p( $λ' + 1$ ).

p( $λ$ )=0 har lösningar där $λ$ >1 vilket betyder att p( $λ' + 1$ )=0 har lösningar där $λ' + 1 > 1$ vilket betyder att $λ' > 0$ .

Vi har visat att matrisen A-I har nollskilda egenvärden, vilket betyder att den är inverterbar.

b) är en direkt resultat av a). Expansiv matris har $|e g e n v ä r d e n|$ >1.

Tack så mycket för svaret!

hur kom ni fram till att använda er av p(landa) = 0?,

jag själv kan komma på det där med det(A - Landa * I_n) = 0 men förstår inte hur ni kunde komma på att använda er av p(landa) = det(A - Landa * In) = 0, därmed då matrisen är A - I_n => det(A-I_n - landa * I_n) = 0 => det(A - (landa + 1)I_n)=0 => p(landa + 1) = 0 eftersom landa(start) > 1 i första delen betyder det att landa + 1 > 1 => landa >0.

varför betyder att om en matris har nollskilda egenvärden att den är inversbar?

Förstod jag rätt att man kan svara på b och a frågan samtidigt?

Jag använde mig av p( $λ$ ) eftersom man vet att $λ$ >1.

Om en matris A har egenvärde $λ$ =0, betyder det att det(A- $0 I$ )=0, alltså det(A)=0 vilket betyder att A inte är inverterbar.

Mohammad Abdalla skrev:
Jag använde mig av p( $λ$ ) eftersom man vet att $λ$ >1.

Om en matris A har egenvärde $λ$ =0, betyder det att det(A- $0 I$ )=0, alltså det(A)=0 vilket betyder att A inte är inverterbar.

Yes!

Fattar nu, tack så mycket för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar