Visa olikheterna för x>0

Taylorutvecklingen av $\ln(1+x)$ upp till grad 3 kan skrivas som:

$\displaystyle \ln\left(1+x\right)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4(1+\theta x)}$

Där den sista termen, som vi kan kalla $R_4(x)$, är en så kallad felterm med $0 < \theta < 1$.

Vi kan också utveckla till grad 4 plus en felterm $R_5(x)$ så här

$\displaystyle \ln\left(1+x\right)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5(1+\theta x)}$

där vi återigen använder $0 < \theta < 1$.

För feltermen gäller bland annat att

$\displaystyle \left|R_{n+1}\left(x\right)\right|<\frac{|x|^{n+1}}{n+1}$ då $x>0$.

D4NIEL skrev:

Taylorutvecklingen av $\ln(1+x)$ upp till grad 3 kan skrivas som:

$\displaystyle \ln\left(1+x\right)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4(1+\theta x)}$

Där den sista termen, som vi kan kalla $R_4(x)$, är en så kallad felterm med $0 < \theta < 1$.

Vi kan också utveckla till grad 4 plus en felterm $R_5(x)$ så här

$\displaystyle \ln\left(1+x\right)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5(1+\theta x)}$

där vi återigen använder $0 < \theta < 1$.

För feltermen gäller bland annat att

$\displaystyle \left|R_{n+1}\left(x\right)\right|<\frac{|x|^{n+1}}{n+1}$ då $x>0$.

Men vad ska vi göra i denna fråga? Det står verkligen still i mitt huvud justnu. Vad har resttermen med detta att göra? 

Planen är att använda Taylorutvecklingar av funktionen $\ln(1+x)$ för att lättare kunna jämföra funktionen med vänster- respektive höger sida om olikheten. En felterm eller restterm (ibland Lagrange Restterm), $R_n(x)$, berättar hur stort felet blir när man trunkerar serien. Genom att använda olika trunkeringar $n=3$ och $n=4$ kan vi på ett enkelt sätt visa olikheterna.

Börja med att repetera avsnittet om Taylorutvecklingar och felet/resttermen i boken. Försök sedan göra ett par taylorutvecklingar, inklusive en feluppskattning / restterm.

D4NIEL skrev:

Planen är att använda Taylorutvecklingar av funktionen $\ln(1+x)$ för att lättare kunna jämföra funktionen med vänster- respektive höger sida om olikheten. En felterm eller restterm (ibland Lagrange Restterm), $R_n(x)$, berättar hur stort felet blir när man trunkerar serien. Genom att använda olika trunkeringar $n=3$ och $n=4$ kan vi på ett enkelt sätt visa olikheterna.

Börja med att repetera avsnittet om Taylorutvecklingar och felet/resttermen i boken. Försök sedan göra ett par taylorutvecklingar, inklusive en feluppskattning / restterm.

Så uppgiften är att taylorutveckla med felterm högre än tex x^4 samt x^3 ?   jag har inga problem med att ta fram taylorpolynom samt använda resttermen.