visa olikheten (envariabelanalys) (Matematik/Universitet)

Hur ser det ut om du ritar upp kurvorna?

Du har en olikhet mellan två deriverbara funktioner. Vad tror du om att titta på ledens derivator?

Dr. G skrev:
Du har en olikhet mellan två deriverbara funktioner. Vad tror du om att titta på ledens derivator?

okej så man kan alltid derivera i en olikhet och "inget" händer?

okej jag har deriverat nu men har fortfarande en olikhet, vad gör jag med den?

Hej,

När $x\geq1$ gäller det att

$\displaystyle\ln\sqrt{x}\leq \sqrt{x}-1\leq \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}.$

Sedan är $\ln\sqrt{x}=0.5\ln x.$

Detta är inte exakt det du vill visa, men kan utgöra en startpunkt för dina tankar.

Jag skulle kvadrera båda led.

Betrakta funktionen f(x) = $\sqrt{x}$ - $\frac{1}{\sqrt{x}}$ - $l n x$ .

Vi har att f(1) = 0.

Antag att x > 1. Medelvärdessatsen säger då att

f(x) - f(1) = f’(a)(x - 1), där a är något värde som ligger i intervallet (1, x)

Om vi kan visa att f’(a) är större än eller lika med noll för alla a > 1, så måste det gälla att f(x) $\geq$ 0 för alla x $\geq$ 1, vilket är vad vi vill visa.

f’( $a$ ) = $\frac{1}{2 \sqrt{a}}$ + $\frac{1}{2} \cdot a^{- 3 / 2}$ - $\frac{1}{a}$ =...= $\frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{2 a^{3 / 2}}$ > 0 för alla a > 1.

Maremare skrev:
Dr. G skrev:
Du har en olikhet mellan två deriverbara funktioner. Vad tror du om att titta på ledens derivator?

okej så man kan alltid derivera i en olikhet och "inget" händer?

okej jag har deriverat nu men har fortfarande en olikhet, vad gör jag med den?

Om du kan visa att

VL(1) = HL(1)

och att

VL'(x) ≤ HL'(x), för x ≥ 1

så medför det att

VL(x) ≤ HL(x), för x ≥ 1.

Det är dock ett onödigt hårt krav, så det är nog bättre att bilda

f(x) = HL(x) - VL(x)

och visa att f(x) har ett minimum då x = 1.

Dr. G skrev:
Maremare skrev:
Dr. G skrev:
Du har en olikhet mellan två deriverbara funktioner. Vad tror du om att titta på ledens derivator?

okej så man kan alltid derivera i en olikhet och "inget" händer?

okej jag har deriverat nu men har fortfarande en olikhet, vad gör jag med den?

Om du kan visa att

VL(1) = HL(1)

och att

VL'(x) ≤ HL'(x), för x ≥ 1

så medför det att

VL(x) ≤ HL(x), för x ≥ 1.

Det är dock ett onödigt hårt krav, så det är nog bättre att bilda

f(x) = HL(x) - VL(x)

och visa att f(x) har ett minimum då x = 1.

okej jag har försökt följa dessa steg även om jag inte förstår varför man ska göra dessa och har kommit fram till derivatan

$f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 x^{3 / 2}} - \frac{1}{x}$

har hittat ett nollställe x=1 genom att gissa att det är 1, ingen aning om det finns fler vet ej hur man ska visa det

vad gör jag nu?

Är du med på att om

f(x) = HL(x) - VL(x)

så är f(x) ≥ 0 ekvivalent med den ursprungliga olikheten, VL ≤ HL?

f'(x) kan faktoriseras till

$f'(x) =\dfrac{1}{2\sqrt{x}}( \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1)^2$

så det finns bara ett reellt nollställe för derivatan, och det för x = 1. Det finns olika sätt att visa att det är ett minimum. Då f(1) = 0 så kommer f(x) för övriga x-värden att vara positivt.

Dr. G skrev:
Är du med på att om

f(x) = HL(x) - VL(x)

så är f(x) ≥ 0 ekvivalent med den ursprungliga olikheten, VL ≤ HL?

f'(x) kan faktoriseras till

$f'(x) =\dfrac{1}{2\sqrt{x}}( \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1)^2$

så det finns bara ett reellt nollställe för derivatan, och det för x = 1. Det finns olika sätt att visa att det är ett minimum. Då f(1) = 0 så kommer f(x) för övriga x-värden att vara positivt.

jag är med på att f(x) = HL(x) - VL(x) för vi har bara slängt över allt på en sida och satt det i en hjälpfunktion f(x)

jag är med på att f(x) >= 0 i angivet intervall

jag förstår inte hur det är ekvivalent med ursprungs olikheten , förstår inte alls kopplingen mellan det

jag är med på faktoriseringen och att det bara finns ett nollställe

jag förstår inte vad detta minimum eller f(x) har något att göra med att visa att olikheten stämmer, hur kan den stämma jag har inte visat något har bara flyttat över saker och deriverat

i mitt huvud tänker jag att om man ska visa något så ska x vara ensamt på någon sida som visar nått tex x < 10 då har jag visat att x < 10

Har du fortfarande inte ritat?

.

Laguna skrev:
Har du fortfarande inte ritat?

jag har fortfarande inte ritat eftersom att jag vet att det inte hjälper mig annars hade jag gjort det från början

nu slog jag däremot upp den på en räknare och såg hur den såg ut och precis som jag misstänkte så hjälper mig den grafen ingenting

Förstår inte varför ni alltid tipsar flera gånger om att rita, jag uppskattar tipset men om det är möjligt att lösa uppgiften utan att rita så väljer jag att inte rita utan att jag ska behöva förklara varför, den frågan kan vi ta i ett annat inlägg eller forum.

är rita det enda alternativet för att lösa denna så ritar jag mer än gärna, går det att lösa utan att rita vilket det uppenbarligen går eftersom jag fått många andra bra tips som känns mer bekvämt för mig så vill jag hellre förstå dessa istället

Skillnaden är noll när x = 1, och f'(x) anger huruvida den växer eller inte. f'(x) är > 0, så skillnaden växer bara. Då kan skillnaden inte bli noll igen.

Maremare skrev:
Dr. G skrev:
Är du med på att om

f(x) = HL(x) - VL(x)

så är f(x) ≥ 0 ekvivalent med den ursprungliga olikheten, VL ≤ HL?

f'(x) kan faktoriseras till

$f'(x) =\dfrac{1}{2\sqrt{x}}( \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1)^2$

så det finns bara ett reellt nollställe för derivatan, och det för x = 1. Det finns olika sätt att visa att det är ett minimum. Då f(1) = 0 så kommer f(x) för övriga x-värden att vara positivt.

jag är med på att f(x) = HL(x) - VL(x) för vi har bara slängt över allt på en sida och satt det i en hjälpfunktion f(x)

jag är med på att f(x) >= 0 i angivet intervall

jag förstår inte hur det är ekvivalent med ursprungs olikheten , förstår inte alls kopplingen mellan det

jag är med på faktoriseringen och att det bara finns ett nollställe

jag förstår inte vad detta minimum eller f(x) har något att göra med att visa att olikheten stämmer, hur kan den stämma jag har inte visat något har bara flyttat över saker och deriverat

i mitt huvud tänker jag att om man ska visa något så ska x vara ensamt på någon sida som visar nått tex x < 10 då har jag visat att x < 10

Jag slarvade lite.

Funktionen f(x) har en terrasspunkt då x = 1, men här är vi enbart intresserade av intervallet på ena sidan, x ≥ 1.

Du kan se från faktoriseringen att f'(x) ≥ 0 för alla x > 0. Funktionen är då växande. Speciellt är f(x) ≥ 0 för x ≥ 1.

Då HL(x) - VL(x) = f(x) ≥ 0, för x ≥ 1, så är

VL(x) ≤ HL(x), för x ≥ 1, och det var det som skulle visas.

Hej,

Definitionen av logaritmfunktionen ger direkt den sökta olikheten via en lämplig övre begränsning.

$\displaystyle\ln x = \int_1^x 1\cdot t^{-1}\,dt \leq \int_1^x x^{-0.5} \cdot 1\,dt = x^{-0.5}(x-1) = x^{0.5}-x^{-0.5}.$

Korrigering: Olikheten $1\leq x^{-0.5}$ stämmer inte då $x\geq 1$ .

Albiki skrev:
Hej,

När $x\geq1$ gäller det att

$\displaystyle\ln\sqrt{x}\leq \sqrt{x}-1\leq \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}.$

Sedan är $\ln\sqrt{x}=0.5\ln x.$

Detta är inte exakt det du vill visa, men kan utgöra en startpunkt för dina tankar.

Istället för $\ln \sqrt{x}$ kan man utgå från $\ln x$ och får då olikheten $\ln x \leq x-1.$ Sedan bryter man ut $\sqrt{x}$ för att få

$\displaystyle\ln x \leq \sqrt{x} \cdot \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right).$

Problemet här är förstås att $\sqrt{x} \geq 1$ då $x\geq 1$ , så ytterligare övre begränsning är ej möjlig.

En fortsättning utnyttjar Konjugatregeln och $\sqrt{x} \leq \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$ vilket ger olikheten

$\displaystyle\ln x \leq x-\frac{1}{x}.$

Ett ytterligare steg använder att $1\leq x+\frac{1}{x}$ och Konjugatregeln för att ge olikheten

$\displaystyle\ln x \leq x^2-\frac{1}{x^2}$

och på samma sätt

$\displaystyle\ln x \leq x^{2n}-\frac{1}{x^{2n}}$ för varje heltal $n\geq 1$ .

Maremare skrev:
Laguna skrev:
Har du fortfarande inte ritat?

jag har fortfarande inte ritat eftersom att jag vet att det inte hjälper mig annars hade jag gjort det från början

nu slog jag däremot upp den på en räknare och såg hur den såg ut och precis som jag misstänkte så hjälper mig den grafen ingenting

Förstår inte varför ni alltid tipsar flera gånger om att rita, jag uppskattar tipset men om det är möjligt att lösa uppgiften utan att rita så väljer jag att inte rita utan att jag ska behöva förklara varför, den frågan kan vi ta i ett annat inlägg eller forum.

är rita det enda alternativet för att lösa denna så ritar jag mer än gärna, går det att lösa utan att rita vilket det uppenbarligen går eftersom jag fått många andra bra tips som känns mer bekvämt för mig så vill jag hellre förstå dessa istället

Kan du vara snäll och lägga in bilden, så att vi kan förstå att den inte hjälper dig? Jag tycker den är till väldigt stor hjälp:

https://www.desmos.com/calculator/trqgefgxf3

Sedan skulle jag bilda differensen HL-VL och derivera den för att se att den inte byter tecken nånstans.

Dr. G skrev:
Maremare skrev:
Dr. G skrev:
Är du med på att om

f(x) = HL(x) - VL(x)

så är f(x) ≥ 0 ekvivalent med den ursprungliga olikheten, VL ≤ HL?

f'(x) kan faktoriseras till

$f'(x) =\dfrac{1}{2\sqrt{x}}( \dfrac{1}{\sqrt{x}}-1)^2$

så det finns bara ett reellt nollställe för derivatan, och det för x = 1. Det finns olika sätt att visa att det är ett minimum. Då f(1) = 0 så kommer f(x) för övriga x-värden att vara positivt.

jag är med på att f(x) = HL(x) - VL(x) för vi har bara slängt över allt på en sida och satt det i en hjälpfunktion f(x)

jag är med på att f(x) >= 0 i angivet intervall

jag förstår inte hur det är ekvivalent med ursprungs olikheten , förstår inte alls kopplingen mellan det

jag är med på faktoriseringen och att det bara finns ett nollställe

jag förstår inte vad detta minimum eller f(x) har något att göra med att visa att olikheten stämmer, hur kan den stämma jag har inte visat något har bara flyttat över saker och deriverat

i mitt huvud tänker jag att om man ska visa något så ska x vara ensamt på någon sida som visar nått tex x < 10 då har jag visat att x < 10

Jag slarvade lite.

Funktionen f(x) har en terrasspunkt då x = 1, men här är vi enbart intresserade av intervallet på ena sidan, x ≥ 1.

Du kan se från faktoriseringen att f'(x) ≥ 0 för alla x > 0. Funktionen är då växande. Speciellt är f(x) ≥ 0 för x ≥ 1.

Då HL(x) - VL(x) = f(x) ≥ 0, för x ≥ 1, så är

VL(x) ≤ HL(x), för x ≥ 1, och det var det som skulle visas.

tror jag börjar lösa denna men jag kan ej göra den faktoriseringen du gjort utan jag lät derivatan bara term för term

men när jag tar gränsvärdet för derivatan så får jag 0 så förstår inte hur jag kan se att derivatan är positiv för alla x > 1

om jag på något sätt kan se att derivatan är större än 0 för alla x > 1 så vet jag att funktionen är strängtväxande och då har jag löst olikheten men jag kan ej se/motivera att derivatan är större än > 0 eftersom att vid x= 1 så är derivatan 0 och gränsvärdet då x går mot oändligheten för derivatan är också 0 så hur kan jag se att den är större än 0 som den har start och slut i värdet 0 ?

Maremare skrev:
$f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 x^{3 / 2}} - \frac{1}{x}$

Bryt ut 1/(2√x) ur alla termer

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}(1 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{\sqrt{x}})$

Med t = 1/√x så är parentesen

$(1 + t^2 - 2t) = (t-1)^2$

Bättre hade antagligen varit att bryta ut 1/(2x^(3/2))

så blir det mindre krångligt:

$f'(x) = \dfrac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}(x + 1 - 2\sqrt{x}) = \dfrac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}(\sqrt{x}-1)^2$