Visa olikhet mha derivata

Hej,

jag ska visa olikheten $e^{x} > 1 + x f ö r x \neq 0$ , och försökte ta hjälp av ett lösningsförslag. Såhär gjorde jag:

$e^{x} - 1 - x > 0 f (x) = e^{x} - 1 - x f ´ (x) = e^{x} - 1 f ´ ´ (x) = e^{x} f'' (1) = e^{1} e > 0 d ä r a v e n m i n p u n k t$

Sedan gjorde jag en teckentabell runt 1, men förstår inte vilken slutsats som kan dras av detta?

Var finns minimipunkten? Vilket värde har f(x) där? :)

$f (0) = e^{0} - 0 - 1 = 1 - 1 = 0 M i n p . i (0, 0)$

Så f(x) har sitt lägsta värde då f(x) = 0, och uttrycket e^x-1-x är därför alltid större än 0?

Japp! Och därmed:

$f (0) = 0 \Rightarrow e^{x} - 1 - x > 0 \Leftrightarrow e^{x} > 1 + x$

vilket var det som söktes. :)

Smutstvätt skrev:
Japp! Och därmed:

$f (0) = 0 \Rightarrow e^{x} - 1 - x > 0 \Leftrightarrow e^{x} > 1 + x$

vilket var det som söktes. :)

men blir inte uttrycket e^x - 1 -x <0 för x <0?

Utmärkt fråga! Svaret är nej. Funktionen har en enda minimipunkt, som ligger i origo. Alla andra värden på x uppfyller olikheten. :)

Smutstvätt skrev:
Utmärkt fråga! Svaret är nej. Funktionen har en enda minimipunkt, som ligger i origo. Alla andra värden på x uppfyller olikheten. :)

Menar du alltså att alla andra värden på x är >0? Hur vet man det? Tack för svar!

Ja, precis! För alla värden på x, utom noll, är olikheten $e^x>x+1$ uppfylld. Detta kan vi veta eftersom en funktion definierad som $f(x)=e^x-x-1$ endast har ett extremvärde, i form av en minimipunkt då $x=0$ . Eftersom olikheten är definierad för, och uppgiftens intervall inkluderar alla reella värden på x, kan vi säkert säga att funktionens minsta värde nås i punkten $(0,0)$ , och att alla andra värden på funktionen är större än noll, och att olikheten därmed är sann för alla nollskilda värden på x.

Svara

Visa senaste svar