visa mha induktionsbevis

Visa mha induktion att följande gäller

$\sum_{r = n}^{2 n - 1} \frac{1}{r (r + 1)} = \frac{1}{2 n}$

testar då n = 1

VL = 1/1*(1+1) = 1/2

HL = 1/2*1 = 1/2

antar att det funkar då n = k

$\sum_{r = k}^{2 k - 1} \frac{1}{r (r + 1)} = \frac{1}{2 k}$

visa att de stämmer då n = k + 1

VL = $\frac{1}{2 k} + \frac{1}{(k + 1) (k + 2)}$

d.v.s. summan av k tal + (k+1)

HL = $\frac{1}{2 (k + 1)}$

jag har väldigt svårt att visa VL = HL

har jag skrivit upp dem fel ovan?

Hej!

Med hjälp av partialbråksuppdelning visar du att summan är teleskoperande.

$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1}\ .$

Summan blir

$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}) + \cdots + (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n} = \frac{2-1}{2n} = \frac{1}{2n}\ .$

Induktionsbevis behövs inte.

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Med hjälp av partialbråksuppdelning visar du att summan är teleskoperande.
$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1}\ .$
Summan blir
$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}) + \cdots + (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n} = \frac{2-1}{2n} = \frac{1}{2n}\ .$
Induktionsbevis behövs inte.
Albiki

dock så är syftet med mina studier att lära mig induktionsbevis så vill göra det med induktionsbevis.

du får jätte gärna hjälpa mig att få till VL och HL enligt post ovan :)

Hej!

Jag har ju redan hjälpt dig: använd partialbråksuppdelningen

$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r}-\frac{1}{r+1}$

när du gör induktionssteget i beviset. Det du vill avstå från att göra är att notera att summan är teleskoperande; istället vill du gå via induktion, vilket är helt okej.

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Jag har ju redan hjälpt dig: använd partialbråksuppdelningen
$\frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r}-\frac{1}{r+1}$
när du gör induktionssteget i beviset. Det du vill avstå från att göra är att notera att summan är teleskoperande; istället vill du gå via induktion, vilket är helt okej.
Albiki

okej så mitt VL blir alltså $\frac{1}{2 k} + \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}$ ?

när jag försöker göra om det så de matchar HL blir de lite strul

VL = $\frac{(k + 1) (k + 2)}{2 k (k + 1) (k + 2)} + \frac{2 k (k + 2)}{2 k (k + 1) (k + 2)} - \frac{2 k (k + 1)}{2 k (k + 1) (k + 2)}$

jag vill ha 2(k+1) i nämnaren och 1 i täljaren men nämnaren verkar inte innehålla faktorn 2(k+1)

Svara

Visa senaste svar