11 svar
292 visningar
Axelz 118 – Fd. Medlem
Postad: 15 mar 2020 10:39

Visa med modulos räkning att talet har entalssiffran 6

Hej!

Visa med hjälp av modulos räkning att talet 4100 har entalssiffran 6.

Jag kan inte riktigt komma till start med denna uppgift. Vad ska jag dividera 4^100 med?

Skaft 2373 – F.d. Moderator
Postad: 15 mar 2020 10:42

Sista siffran i ett heltal kan betraktas som resten då talet delas med 10. Som exempel går ju talet 10 i 26 två gånger, och då blir det 6 över.

Axelz 118 – Fd. Medlem
Postad: 15 mar 2020 11:06
Skaft skrev:

Sista siffran i ett heltal kan betraktas som resten då talet delas med 10. Som exempel går ju talet 10 i 26 två gånger, och då blir det 6 över.

Aha!

4100 = (42)50 = 1650 = 650 (mod 10)

Hur går jag vidare här?

Arktos 4380
Postad: 15 mar 2020 12:11

Man kan också börja med att beräkna 4^n för t ex  n  fr o m 1 t o m 5 och se vad de slutar på för siffror. Och  vad det kan bero på...

Axelz 118 – Fd. Medlem
Postad: 15 mar 2020 12:14
Arktos skrev:

Man kan också börja med att beräkna 4^n för t ex  n  fr o m 1 t o m 5 och se vad de slutar på för siffror. Och  vad det kan bero på...

Hmm, jag ser att de slutar på 4, 6, 4, 6, 4 osv... när jag sätter in n = 1, 2, 3, 4, 5...

Vad beror detta på?

Arktos 4380
Postad: 15 mar 2020 12:21 Redigerad: 15 mar 2020 12:29

Gör samma manöver med 2^n för lite fler värden på   n  och se vad som händer.

Visa spoiler

Slutsiffran i en produkt av två heltal beror enbart på faktorernas slutsiffror.
Mycket användbart. Det står nog nånstans, annars får du bevisa det

Axelz 118 – Fd. Medlem
Postad: 15 mar 2020 12:35
Arktos skrev:

Gör samma manöver med 2^n för lite fler värden på   n  och se vad som händer.

Visa spoiler

Slutsiffran i en produkt av två heltal beror enbart på faktorernas slutsiffror.
Mycket användbart. Det står nog nånstans, annars får du bevisa det

Aha, förstår!

Kan inte komma på hur jag ska bevisa detta generellt dock. Har du något tips? :)

Arktos 4380
Postad: 15 mar 2020 12:54

Moduloräkning!

u = a (mod 10)       u slutar på a
v = b (mod 10)       v slutar på b

På vad slutar då  u·v ?

Axelz 118 – Fd. Medlem
Postad: 15 mar 2020 13:23
Arktos skrev:

Moduloräkning!

u = a (mod 10)       u slutar på a
v = b (mod 10)       v slutar på b

På vad slutar då  u·v ?

uv (mod 10) ≡ ab (mod 10)

Är detta svaret? Tänker själv att detta inte räcker, t.ex. om a = 7 och b = 3 så kan ju ab (mod 10) skrivas som 21 (mod 10) som i sin tur kan skrivas om till 1 (mod 10)

Arktos 4380
Postad: 15 mar 2020 13:33

Poängen är att slutsiffran i produkten (0 - 9) enbart beror på  a  och  b .

parveln 703 – Fd. Medlem
Postad: 15 mar 2020 13:43

Ett annat alternativ är att först beräkna vad 4^100 är kongruent med modulo 2, och sen modulo 5. Vad kommer den då vara kongruent med modulo 10?

Laguna Online 30482
Postad: 15 mar 2020 14:18
Axelz skrev:
Skaft skrev:

Sista siffran i ett heltal kan betraktas som resten då talet delas med 10. Som exempel går ju talet 10 i 26 två gånger, och då blir det 6 över.

Aha!

4100 = (42)50 = 1650 = 650 (mod 10)

Hur går jag vidare här?

Om ett tal slutar på 6, och multipliceras med 6, vad slutar produkten på då? 

Svara
Close