Visa med modulos räkning att talet har entalssiffran 6
Hej!
Visa med hjälp av modulos räkning att talet 4100 har entalssiffran 6.
Jag kan inte riktigt komma till start med denna uppgift. Vad ska jag dividera 4^100 med?
Sista siffran i ett heltal kan betraktas som resten då talet delas med 10. Som exempel går ju talet 10 i 26 två gånger, och då blir det 6 över.
Skaft skrev:Sista siffran i ett heltal kan betraktas som resten då talet delas med 10. Som exempel går ju talet 10 i 26 två gånger, och då blir det 6 över.
Aha!
4100 = (42)50 = 1650 = 650 (mod 10)
Hur går jag vidare här?
Man kan också börja med att beräkna 4^n för t ex n fr o m 1 t o m 5 och se vad de slutar på för siffror. Och vad det kan bero på...
Arktos skrev:Man kan också börja med att beräkna 4^n för t ex n fr o m 1 t o m 5 och se vad de slutar på för siffror. Och vad det kan bero på...
Hmm, jag ser att de slutar på 4, 6, 4, 6, 4 osv... när jag sätter in n = 1, 2, 3, 4, 5...
Vad beror detta på?
Gör samma manöver med 2^n för lite fler värden på n och se vad som händer.
Visa spoiler
Slutsiffran i en produkt av två heltal beror enbart på faktorernas slutsiffror.
Mycket användbart. Det står nog nånstans, annars får du bevisa det
Arktos skrev:Gör samma manöver med 2^n för lite fler värden på n och se vad som händer.
Visa spoiler
Slutsiffran i en produkt av två heltal beror enbart på faktorernas slutsiffror.
Mycket användbart. Det står nog nånstans, annars får du bevisa det
Aha, förstår!
Kan inte komma på hur jag ska bevisa detta generellt dock. Har du något tips? :)
Moduloräkning!
u = a (mod 10) u slutar på a
v = b (mod 10) v slutar på b
På vad slutar då u·v ?
Arktos skrev:Moduloräkning!
u = a (mod 10) u slutar på a
v = b (mod 10) v slutar på bPå vad slutar då u·v ?
uv (mod 10) ≡ ab (mod 10)
Är detta svaret? Tänker själv att detta inte räcker, t.ex. om a = 7 och b = 3 så kan ju ab (mod 10) skrivas som 21 (mod 10) som i sin tur kan skrivas om till 1 (mod 10)
Poängen är att slutsiffran i produkten (0 - 9) enbart beror på a och b .
Ett annat alternativ är att först beräkna vad 4^100 är kongruent med modulo 2, och sen modulo 5. Vad kommer den då vara kongruent med modulo 10?
Axelz skrev:Skaft skrev:Sista siffran i ett heltal kan betraktas som resten då talet delas med 10. Som exempel går ju talet 10 i 26 två gånger, och då blir det 6 över.
Aha!
4100 = (42)50 = 1650 = 650 (mod 10)
Hur går jag vidare här?
Om ett tal slutar på 6, och multipliceras med 6, vad slutar produkten på då?
