Visa med induktion olikheten

Hej!

Jag har följande uppgift: "Visa med induktion olikheten ${(1 + x)}^{n} \geq 1 + n x$ för alla $x > 0$ och positiva heltal $n$ ."

Tyvärr har jag inget facit på uppgiften och vill veta om jag gjort rätt:

Till att börja med har vi att $1 + x \geq 1 + x$ är trivialt. Vi antar att det stämmer för $n = p$ , vi får då att

${(1 + x)}^{(p + 1)} = (1 + x) {(1 + x)}^{p} \geq (1 + x) (1 + p x) = 1 + p x + x + p x^{2} \geq 1 + (p + 1) x$

där första olikheten gäller då $1 + x > 0$ samt induktionsantagandet.

Vad sägs?

Tack på förhand.

Det ser ut att vara riktigt. Du visar att det gäller för n = 1, antar att det gäller för n = p och får fram att det i så fall gäller för n = p + 1. Schyst.

Hej!

Du bör förklara varför olikheten

$1+px+x+px^2 \geq 1+(p+1)x$

är sann då $p$ är ett positivt heltal. (Argumentet är enkelt.)

Annars ser det bra ut. Men du glömde det sista steget i ett Induktionsbevis: Enligt Induktionsprincipen är påståendet sant för alla positiva heltal.

Albiki

Svara