Visa med induktion att talföljden kan beskrivas med den slutna formeln

$E n t a l f ö l j d d e f i n i e r a s g e n o m a t t s ä t t a$

$a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{7 a_{n}}{7 - a_{n}} f ö r n = 1, 2, 3 . . . v i s a m e d i n d u k t i o n a t t t a l f ö l j d e n k a n b e s k r i v a s m e d d e n s l u t n a f o r m e \ln a_{n + 1} = \frac{14}{7 - 2 n} f ö r n = 1, 2, 3$

Vet inte hur jag ska gå till väga med denna. Man ska ju börja med basfallet och sedan antagandet, hur hittar man basfallet i det här fallet?

Sätt n=1 och kolla att påståendet stämmer. Blir a₂ samma med de båda beskrivningarna?

Basfallet borde egentligen vara a₀, och formeln gäller ju då också, men de har ju dumt nog uteslutit 0 ur värdena på n.

Räkna ut a₁ och låt det vara basfallet.

När det kommer till induktion är basfallet alltid det första värdet. I ditt fall kan ju $n$ anta värdena $1,2,3,...$ och därmed blir $n=1$ basfallet. Men det verkar som att det blivit något konstigt i den undre formeln för där fås ju $a_1$ med $n=0$ . Så i under formeln får du använda $n=0$ och i övre $n=1$ .

Eller som ovanstående sa, betrakta $n=1$ i undre formeln som basfallet och då får du använda $n=2$ i övre.

$n = 1$ funkar så anta det funkar till n=p alltså

$a_{n} = \frac{7 a_{n - 1}}{7 - a_{n - 1}}$ är samma som $a_{n} = \frac{14}{7 - 2 (n - 1)} = \frac{14}{7 - 2 n + 2} = \frac{14}{9 - 2 n}$ (jag gör om så $a_{0} = 2$ och jaa formlerna är för a_n för jag tycker de e lättare att jobba med)

$a_{p + 1} = \frac{7 a_{p}}{7 - a_{p}} = \frac{7 (\frac{14}{9 - 2 p})}{7 - (\frac{14}{9 - 2 p})} = (\frac{98}{9 - 2 p}) \div (\frac{7 (9 - 2 p) - 14}{9 - 2 p}) = \frac{98}{63 - 14 p - 14} = \frac{98}{49 - 14 p} = (\frac{7 \cdot 14}{7 \cdot (7 - 2 p)}) = \frac{14}{7 - 2 p}$ Och vi e färdiga

Fick att basfallet var $\frac{14}{5}$ i både det undre och det övre ledet när jag använde a=2 och n=1, så basfallet stämde helt enkelt.

Sedan bli väl induktionsantagamdet n=p för övre och undre led, dvs vänster och höger led $V L_{p} = H L_{p}$ .

När jag sedan ska ställa upp och börja med induktionssteget, hur ska jag ställa upp då?

Nej, induktionsantagandet skall inte vara n = p, induktionsantagandet skall vara att a_p+1=14/(7-2p). Sedan skall du försöka visa att OM induktionsantatandet stämmer SÅ är $\frac{7a_{n+1}}{7-a_{n+1}}=\frac{14}{7-2(n+1)}$ . Börja med vänsterledet och skriv om det med hjälp av induktionsantagandet, och försök få fram högerledet.

Behöver du mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen!

Yeah jag formulerade mitt svar väldigt dålig

Svara

Visa senaste svar