Visa med induktion att

petti skrev:

Hej! Uppgiften är att man ska bevisa $\sum _{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k(k+1)} =\frac{1}{2n}$

med induktions beviset. Det finns facit men jag förstod inte några steg som de gjorde. Alltså där jag grön markerade. I steg (7) varför lägger den till och drar ifrån?

Kan du lägga upp bättre bilder? Det är svårt att läsa de här.

Syns det bättre nu?

Jag är inte hundra på vad det är du undrar så jag kanske missförstår dig, men har du sett att de ändrar summornas gränser?

Summan i första ekvationens vänsterled börjar på k=N+1 medan den i HL börjar på k=N. Därför får summan i HL en term mer, nämligen $\frac{1}{N(N+1)}$, som behöver subtraheras där för att bevara likheten. På andra stället går summan i VL till k=2N+1 och i HL bara till k=2N-1, så där behöver de istället addera de två sista termerna.

Besvarar det din fråga?

Det jag undrar är hur löser man denna uppgiften. eftersom jag förstod inte riktigt lösningen som finns i facit. 

Ok, jag hänger med att de ändrar summornas gränser. Men hur ska man veta att man behöver göra det och varför tar man bort just $\frac{1}{N(N+1)}$?? 

Gränsen k=N är mindre än k=N+1 borde man inte lägga till istället för ta bort $\frac{1}{N(N+1)}$??

Finns det inte ett lättare sätt att lösa denna uppgiften. 

Finns det inte ett lättare sätt att lösa denna uppgiften.

Troligen inte, då hade man nog gjort så.

Ok! Men varför tar de bort $\frac{1}{N(N+1)}$? 

petti skrev:

Ok! Men varför tar de bort $\frac{1}{N(N+1)}$? 

Menar du på punkt 7? Ser du att de nhar ändrat det undre indexet på summan i VL, så att de inte tar med den allra första termen? Därför tar de bort motsvarande term i HL också.

Okej, använder de pascals formeln?

Hur om de till $\sum _{k=N}^{2n-1}$?

Snälla kan någon förklara det lite enklare så kan jag fatta? 

Nej, det är en alldeles vanlig summa. De tar bort den första termen i både höger- och vänsterled.

Jag förstod inte!

Jag vet inte exakt vad du inte förstår i detta läge, men utgångspunkten är att visa att det gäller för "n=1" och att visa att det gäller för något N>1 de väljer N+1. 
Detta är grunden i induktionsbevis, som Smaragdalena säger. 
För att få till detta måste de skriva om formlerna så att detta visas. Eftersom de visar för N+1 måste de ta bort detta ibland ur serien för att visa att det är sant. Okej, nu?

petti skrev:

Jag förstod inte!

Vad var det du inte förstod? Vi kan inte hjälpa dig om du bara gapar "Jag förstår inte!" utan att förklara vad det är du inte förstår.

petti skrev:

Jag förstod inte!

Vad var det du inte förstod? Vi kan inte hjälpa dig om du bara gapar "Jag förstår inte!" utan att förklara vad det är du inte förstår.

Hahaha , jag ställde fråga men det verkar som att du inte ser de. Jag undrar hur fick de $\sum _{k=N}^{2n-1}$? alltså raden under steg 7. 

Tunnisen det du sa vet jag men raden under steg7 är oklart för mig.  

Jag ber om ursäkt om jag var oklart med mitt fråga.

I steg 7 HL finns nu två termer. En summaterm som de bara utvecklar  i raden nedanför steg 7.  

petti, du vet väl att du kan redigera ditt inlägg så att du inte behöver spamma tråden så förfärligt? /moderator

På raden under steg 7 har de två summor: En med hela summan från N till 2N+1 i vänsterledet och en med summan från N till 2N-1 plus två "lösa" termer, en där k=2N och en där k=2N+1. De är naturligtvis lia med varandra. Är det något som är otydligt med detta?

petti skrev:
Jag undrar hur fick de $\sum _{k=N}^{2n-1}$? alltså raden under steg 7.

Är du med på att det som står på raden under (7) inte är en omskrivning av (7)? Det är inte över huvud taget något de fick från någon annan rad så att säga, utan det är en ny och självstående likhet som de inför för att de behöver det. Lite som att notera att man kan skriva om x till 2x/2 om man skulle behöva det.

Om du är med på det och undrar hur de gör omskrivningen av summan—dvs hur likheten på raden under (7) kan gälla—så är det på det sätt som jag och Smaragdalena nämnde ovan...

Hänger du med på att t.ex. $\sum _{n=2}^{4}n=\underset{n=1}{\overset{4}{\sum n}}-1$? Eftersom summan i HL "börjar ett steg tidigare" än i VL så behöver vi subtrahera det extra steget i HL för att likheten ska gälla.

Hänger du med på att t.ex. $\sum _{n=k}^{k+3}n=\sum _{n=k}^{k+2}n+(k+3)$? Eftersom summan i HL "går ett steg kortare" så behöver vi addera det extra steget i HL för att likheten ska gälla?

Det är en omskrivning av denna typ de gör på raden efter (7). De tar en summa och visar att den går att skriva på en annan form. Summan i VL går hela vägen till 2N+1 men i HL går den bara till 2N-1, så då behöver de addera de två sista termerna i HL—dvs uttrycken för när k=2N och när k=2N+1.

Ahaaa okej! nu hänger jag med. Stort tack för alla hjälp!:)

Smaragdalena det är bilderna som gjorde tråden så förfärligt. :/

Men en förfärligt fråga behöver en förfärligt svar!:)

återigen tack Russell, Smargdalena och Tunnisen.