Visa med induktion att...

Hej!

$v i s a m e d i n d u k t i o n a t t n^{3} \leq 3^{n} f ö r a l l a h e l t a l n \geq 3$ .

Har gjort basfallet som stämde. Har även gjort induktionsantagandet: $3 \leq n \leq p$

och har kommit såhär långt:

${(p + 1)}^{3} = p^{3} + 3 p^{2} + 3 p + 1 \leq p^{3} + p^{3} + p^{2} + 1$

men här nu händer något jag inte är med på.

$p^{3} + p^{3} + p^{2} + 1 \leq p^{3} + p^{3} + p^{2} + p^{2}$

varför blir 1an ett $p^{2}$ ?

Jag förstår såklart att p i kvadrat är större än 1 för när alla p är större eller lika med 3, men hur ska man veta att det är just p i kvadrat som ska ersätta 1an i det fallet och inte något annat p?

Händer det något intressant på nästa rad?

Det behöver inte vara just $p^{2}$ , men man gör så i just detta fall för att kunna skriva fina, slutna uttryck och enkelt stänga in utryck. Precis som man ersatt $3 p^{2}$ med $p^{3}$ i raden innan.

men att $3 p^{2}$ blir $p^{3}$ är väl för att man vet att $3 \leq p$ ? Oavsett så behöver man välja det som gör att man kan skriva det slutna uttrycket, men det finns inget sätt att veta exakt vad man som ska stå istället för 1? @Lirim.K

Det fortsätter såhär @Laguna:
$\leq p^{3} + p^{3} + p^{2} + p^{2} \leq p^{3} + p^{3} + 2 p^{2} \leq p^{3} + p^{3} + p^{3} = 3 p^{3} \leq 3 \cdot 3^{p} (e n l i g t I . A) = 3^{p + 1} = H L_{p + 1}$

Du verkar ha gjort ett felaktigt induktionsantagande.

Induktionsantagande: Om p>3 så gäller det att p³<3^p. (Jag hoppar över "eller lika med" här och i fortsättningen, för jag är lat och det är så mycket krångligare att skriva det från datorn.)

Nästa steg är att visa att OM induktionsantagandet är sant, så gäller det att (p+1)³<3^p+1.

Bärja med vänsterledet, precis som du har gjort. (p+1)³=p³+3p²+3p+1.

Eftersom vi vet att p är åtminstone 3, så gäller det att p³ är minst lika stort som 3p², att p² är minst lika stort som 3p och att p²>1. Det betyder att p³+p³+p³ >VL. Man kan skriva om p³+p³+p³ till 3p³. Enligt induktionsantagandet är detta mindre än 3^.3^p. Detta uttryck kan man skriva om till 3^3+1, d v s till det HL vi ville bevisa att det är större än VL.

Det är ungefär som om vi ville bevisa att a <50 men istället har visat att a+20<50 - i så fall kan vi ju vara säkra på att a<50 (med god marginal).

Förstår, men det känns så skumt eftersom att det finns många tal som är större än ett visst tal och man måste välja det rätta för att komma fram till rätt uttryck @Smaragdalena

Ja, det finns jättemånga tal man skule kunna välja, men vi vet ju att vi vill komma fram till något där vi kananvända oss av induktionsantagandet, och då behöver vi komma fram till något uttryck på formen k^.p³. Då är det här den minst krångliga vägen - därmed inte sagt att den inte är krånglig!

Svara

Visa senaste svar