Visa med hjälp av derivatans definition

$f'(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Sätt $h=x-a$

Det ger följande ekvivalenta uttryck för derivatan:

$f\text{'}\left(a\right)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$

Okej, är det här något man brukar göra eller? Jag kan inte minnas att det här systemet står i kursboken, vad är anledningen till att man gör så här kontra att bara låta derivatans definition vara som den versionen jag skrev?

Jag förstår inte hur det är meningen att jag bara ska "se" detta som uppenbart när jag ser uppgiften. När jag ser detta så känns det för mig bara som att det nu finns två olika definitioner för derivatan, känns ju som att det går emot poängen lite med att ha en definition från början :/

Men tomast80 visade ju att de är samma sak. Den andra varianten på derivatans definition är faktiskt mycket användbar och är något du borde lära dig.

Visst kan du använda dig av din definition också, det är bara att det blir lite krångligare:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{{\displaystyle \frac{a+1+h}{a+2+h}}-{\displaystyle \frac{a+1}{a+2}}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{{\displaystyle \frac{a^2+2a+a+2+ha+2h-a^2-2a-ha-a-2-h}{(a+2+h)(a+2)}}}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim } \frac{{\displaystyle \frac{h}{(a+2+h)(a+2)}}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{\bcancel{h}}{(a+2+h)(a+2)}·\frac{1}{\bcancel{h}}=\frac{1}{(a+2{)}^2} \end{gathered}$$

Ok, tack för att ni tog er tid, ska försöka förstå detta

Gör det enkelt för dig: Skriv funktionen som

    $\displaystyle f(x) = \frac{(x+2)-1}{x+2}=1-\frac{1}{x+2}$.

Då blir differenskvoten

    $\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{\frac{1}{a+2}-\frac{1}{x+2}}{x-a}.$