Visa med derivatans definition

Hej

Du vill beräkna: $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{{\left(x+h\right)}^2}-\frac{1}{x^2}}}{h}$,  kommer du vidare?

Derivatans definition ser ut så här:

$\underset{h\to 0}{\lim } \frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

I detta fallet är funktionen:

$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$

Har du en aning om hur du ska fortsätta?

Kan ställa upp såhär iaf, men det kärvar när jag har gjort så det är samma täljare där upp och subtraherat nämnarna

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{{(x+h)}^2}-\frac{1}{x^2}}}{h}$

Jag kommer till

$\underset{h\to 0}{\lim }-\frac{1}{(x^2+1)h}$

men det känns fel

ostron skrev :

Jag kommer till

$\underset{h\to 0}{\lim }-\frac{1}{(x^2+1)h}$

men det känns fel

Ja det är tyvärr det, men vissa hur du har förenklat så kan vi hjälp dig och hitta vart det går fel!

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x^2}{x^2(x+h{)}^2}-\frac{(x+h{)}^2}{x^2(x+h{)}^2}}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{x^2-(x+h{)}^2}{x^2(x+h{)}^2}}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^2-(x+h{)}^2}{h{x}^2(x+h{)}^2}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^2-(x^2+2hx+h{}^2)}{h{x}^2(x+h{)}^2}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^2-x^2-2hx-h{}^2}{h{x}^2(x+h{)}^2}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-2hx-h^2}{h{x}^2(x^2+2hx+h{}^2)}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-2hx-h^2}{h{x}^4+2h^2{x}^3+h{}^3{x}^2}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-2x-h}{x^4+2h{x}^3+h^2{x}^2}=\frac{-2x}{x^4}=-\frac{2}{x^3}$

Är detta sant kanske?

Japp, det stämmer.

Hur vet man när man kan sätta in h som 0?

Nu gjorde jag det bara för att jag såg ut att nå svaret då

ostron skrev :

Hur vet man när man kan sätta in h som 0?

Nu gjorde jag det bara för att jag såg ut att nå svaret då

När du inte kan förenkla ditt uttryck mer.

Det är när vi blivit av med det som gjorde att vi inte kunde sätta in h som 0 från början.

I det här fallet var det att nämnaren blev lika med noll, vilket inte går. När vi däremot brutit ut h både uppe och nere och de har tagit ut varandra är nämnaren inte längre lika med noll när vi sätter in h, vilket är varför det fungerade.