Visa m.h.a derivatans definition att

ska det vara så här

$$\begin{gathered} --------------------------- \\ ·f\left(x\right)=p\left(x\right)+q\left(x\right) \\ ·f\text{'}\left(x\right)= p(x+h)-p\left(x\right)-\left(q\right(x+h)-q(x\left)\right) \end{gathered}$$

Nej, det stämmer inte.

Jag föreslår att du går tillbaka och börjar använda faktarutor igen, dvs att du i det här fallet skriver uttryck för f(x+h) och f(x) separat och sedan sätter in dessa uttryck i derivatans h-definition.

hur då ?

Jag är lite förvirrad eftersom jag har två funktioner på H.L.

Du vet att f(x) = p(x)+q(x).

Då kan du sktiva ett uttryck för f(x+h).

Det är dessa två uttryck du ska ha i din faktaruta och som du sedan ska använda i differenskvotens täljare när du skriver f'(x) med hjälp av derivatans definition.

Yngve skrev:

Du vet att f(x) = p(x)+q(x).

Då kan du sktiva ett uttryck för f(x+h).

Det är dessa två uttryck du ska ha i din faktaruta och som du sedan ska använda i differenskvotens täljare när du skriver f'(x) med hjälp av derivatans definition.

Vartför blir inte f'(x) det som jag skrev i inlägg #2 på andra raden ?

Vartför blir inte f'(x) det som jag skrev i inlägg #2 på andra raden ?

För att f(x) = p(x)+q(x), du har skrivit som om det vore f(x) = p(x)-q(x).

Smaragdalena skrev:

Vartför blir inte f'(x) det som jag skrev i inlägg #2 på andra raden ?

För att f(x) = p(x)+q(x), du har skrivit som om det vore f(x) = p(x)-q(x).

Och två saker till: du ska dela med h, och låta h gå mot 0.

Jag är övertygad om att orsaken till att du skrev fel i svar #2 är att du försöker ta en genväg och plocka ihop differenskvoten ditekt, utan att först skriva upp uttrycken för f(x) och f(x+h).

Dvs att du hoppar över steget med "faktaruta" som jag brukar tjata om.

Att ta det extra steget minskar risken för att det blir fel vid sammanställning av differenskvoten.

Jag använde ju faktarutor 

Arup skrev:

Jag använde ju faktarutor 

Var då?

Jag ser inte att du har skrivit något uttryck för f(x+h) innan du satte upp uttrycket för f'(x).

Det jag brukar tjata om är att du först ska skriva ett uttryck för f(x) och f(x+h) (i det jag kallar "faktaruta") och att du sedan ska utnyttja det du har skrivit där när du sätter ihop differenskvoten.

Då blir det ett rent mekaniskt arbete att sätta upp differenskvoten, du slipper hålla så många saker I huvudet samtidigt och risken för misstag minskar avsevärt.

Behöver du mer hjälp med något här?

Yngve skrev:

Behöver du mer hjälp med något här?

Ja, lite mer tips med hur jag kan ställa upp faktarutorna.

Vad är det du undrar om faktarutorna? Skriv uttrycken för f(x) och för f(x+h). Använd uttrycken för att ställa upp differenskvoten, förenkla differenskvoten.

Ställ upp uttrycket för derivatans definition (d v s limes för differenskvoten), skriv limes för den förenklade differenskvoten, låt h gå mot 0.

Arup skrev:

Yngve skrev:

Behöver du mer hjälp med något här?

Ja, lite mer tips med hur jag kan ställa upp faktarutorna.

Gör nu detta själv och fundera på vad som ska vara istället för de röda frågetecken.

Tack så mkt Mr. P

Vad gör jag nu ?

Ok jag har skrivit lite fel i rad2

Ja. Hur borde rad 2 se ut om du gör om det?

Och det ser ut som om det står f(x+h) som första term i täljaren på sista raden. I så fall är även det fel. Där ska det stå p(x+h).

Nästa steg är att byta plats på de två mittersta termerna i täljaren så att den blir p(x+h)-p(x) + q(x+h)-q(x).

Och att sedan dela upp bråket i två delar, en med täljare p(x+h)-p(x) och en med täljare q(x+h)-q(x).

Hej Yngve hur förenklar jag p(x+h)-p(x)

Arup skrev:

Hej Yngve hur förenklar jag p(x+h)-p(x)

Det väntar du med att göra tills du delar med h och låter h gå mot 0. Kännder du igen derivatans definition?

Smaragdalena skrev:

Arup skrev:

Hej Yngve hur förenklar jag p(x+h)-p(x)

Det väntar du med att göra tills du delar med h och låter h gå mot 0. Kännder du igen derivatans definition?

Ja, men jag vet inte hur jag kan förenkla nämnar uttrycket

Du ska inte förenkla något, du ska dela upp differenskvoten i två bräktal, som jag beskrev i svar #20. Visa hur ditt uttryck ser ut när du har gjort det. 

För att fortsätta behöver du veta att gränsvärdet av summan i det här fallet kan skrivas som en summa av gränsvärden.

Läs denna korta tråd, där PATENTERAMERA beskriver vilka villkor som måste vara uppfyllda.

(Jag tror att dessa villkor ligger utanför.gymnasiematten, så egentligen är det konstigt att denna uppgift dyker upp i din kurs.)

Yngve skrev:

Nästa steg är att byta plats på de två mittersta termerna i täljaren så att den blir p(x+h)-p(x) + q(x+h)-q(x).

Och att sedan dela upp bråket i två delar, en med täljare p(x+h)-p(x) och en med täljare q(x+h)-q(x).

Jag förstår inte vad du menar här ?

"Och att sedan dela upp bråket i två delar, en med täljare p(x+h)-p(x) och en med täljare q(x+h)-q(x)."

Arup skrev:

Yngve skrev:

Nästa steg är att byta plats på de två mittersta termerna i täljaren så att den blir p(x+h)-p(x) + q(x+h)-q(x).

Och att sedan dela upp bråket i två delar, en med täljare p(x+h)-p(x) och en med täljare q(x+h)-q(x).

Jag förstår inte vad du menar här ?

"Och att sedan dela upp bråket i två delar, en med täljare p(x+h)-p(x) och en med täljare q(x+h)-q(x)."

Du vet ju om sedan långt tillbaka att detta gäller för bråk: 

$$\begin{gathered} \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c} \\ \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \end{gathered}$$

(visade åt båda hållen för det är baklänges du ska göra här)

Mrp jag lite osäker eftersom jag dealer med funktioner och inte tal

Samma koncept. Tänk eller sätt a=p(x+h)-p(x) och b=q(x+h)-q(x).

Är det rätt nu ?

Du skall inte ha limes på sista raden, annars ser det bra ut.

Ok varför får man inte ha limes på sista raden ?

För att h redan gått mot oändligheten. 

Tillägg: 17 aug 2024 23:45

Haha oj, vilken felskrivning. Menade självklart går mot 0.

Men, det står ju när h går mot noll ?

Tror att du förstår vad Mrpotatohead menar.

Det är ingen idé att säga att h går mot 0 när det inte finns något h i uttrycket. Det är inte fel, men helt onödigt.

Arup skrev:

Är det rätt nu ?

Snyggt!

Men utöver det att $\lim_{h\rightarrow0}$ ska bort från sista raden så saknar jag parenteser runt differenskvoterna enligt bild nedan och ett steg efter det, nämligen $f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{p(x+h)-p(x)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{q(x+h)-q(x)}{h}$

Först då har du visat att $f'(x)=p'(x)+q'(x)$.