Visa konvergens för serie

Fråga: Avgör om serien är konvergent eller divergent

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\sin (k) \tan (1 / k)}{\sqrt{k}}$

En ledning till uppgiften är att visa absolut konvergens. När jag försöker med detta får jag

$|a_{k}| = |\frac{\sin (k) \tan (1 / k)}{\sqrt{k}}| \leq \frac{\tan (1 / k)}{\sqrt{k}}$

men härifrån lyckas jag bara visa att den övre uppskattningen är divergent, vilket inte säger något om den ursprungliga seriens divergens/konvergens, m.h.a. uppskattningen $\tan (1 / k) \leq \frac{π}{2}$ . Finns det något annat sätt att närma sig uppgiften, eller har jag missat något viktigt i det uttryck jag fått?

Har inte kollat om det funkar, men har du prövat att förlänga uttrycket med 1/k?

Vet att sin x alltid är mindre än x, finns ngt liknande för tan?

Micimacko skrev:
Vet att sin x alltid är mindre än x, finns ngt liknande för tan?

Jo, $\tan (x) \geq x$ här, men det skulle ju resultera i uppskattningen $\frac{\tan (1 / k)}{\sqrt{k}} \geq \frac{1}{k^{1, 5}}$ . Att högerledet här är konvergent säger dock inget om huruvida vänsterledet är konvergent.

Smaragdalena skrev:
Har inte kollat om det funkar, men har du prövat att förlänga uttrycket med 1/k?

Det verkar inte hjälpa :/

Notera att när $0<><>$ är $\tan x = x + o(x)$ , varför

$\frac{1}{\sqrt{k}}\tan\frac{1}{k} = \frac{1}{k^{1.5}} + \frac{1}{\sqrt{k}}o(\frac{1}{k})$ .

Sedan gäller den triviala uppskattningen $|\sin k| \leq 1.$

Tack för hjälpen! Löste uppgiften :)

Svara

Visa senaste svar