Visa konvergens

Om du gör nämnaren mindre så blir integralens värde (från 2 till oändligheten) större. Då får du en integral som kan vara lätt att räkna ut (beroende på hur du gör).

Alex; skrev:

Hej på er!

Jag undrar hur man kan delar upp intervallet från 0 till 2 och från 2 till oändligheten. Ska jag integrera samma f(x)  från 0 till 2 och sedan förenkla f(x) på något sätt innan jag integrerar den från 0 till oändligheten så att det blir lättare att hitta den primitiva funktionen?

Det är rätt tänkt. Du kan ta vilken brytpunkt som helst, säg x=2. Integralen är då klart konvergent på [0,2]. Den har ett värde som vi ej behöver räkna ut. Det finns ingen singularitet på intervallet då x^3+1>0 på intervallet.

För [2,oo) gör vi ett knep. Vad händer om du stryker 1:an i nämnaren. Blir integrandens värden större eller mindre då? Hur kan du dra nytta av detta?

Ni är guldvärda! Tack för era svar. Om nämnaren minskar så bli kvoten större, som Dr. G har nämnt. 

Ska jag då undersöka integralen från 2 till ♾️ f(x)= (2x-4)/(x^3)? 

Låter som en mycket bra idé. Vad tror du om att "ta bort" -4 från täljaren? Blir integrandens värde större eller mindre på [2,oo)?

Tar vi bort -4 blir täljaren större samtidigt som kvoten blir större.

Alex; skrev:

Tar vi bort -4 blir täljaren större samtidigt som kvoten blir större.

Mycket bra. Nu är resten lätt.

Trinity2 skrev:

Alex; skrev:

Tar vi bort -4 blir täljaren större samtidigt som kvoten blir större.

Mycket bra. Nu är resten lätt.

Ska jag undersöka om integrera f(x)=(2x)/(x^3) från 2 till ♾️? Vad bör man skriva som motivering i så fall om jag tar bort -4 från täljaren och +1 från nämnaren? 

Du försöker hela tiden göra integralen större och större vid varje steg

Startintegral < ... < ... < ... < ... < Slutintegral.

Om sedan Slutintegral är ett tal, säg M, är du "hemma". Då har du visat

Startintegral <M

och Startintegralen är därmed konvergent.

Vad säger du om 2x/x^3? Vad blir

Kan du förenkla integranden lite till, innan du börjar?

Trinity2 skrev:

Du försöker hela tiden göra integralen större och större vid varje steg

 

Startintegral < ... < ... < ... < ... < Slutintegral.

Om sedan Slutintegral är ett tal, säg M, är du "hemma". Då har du visat

Startintegral <M

och Startintegralen är därmed konvergent.

Vad säger du om 2x/x^3? Vad blir

Kan du förenkla integranden lite till, innan du börjar?

Blir det rätt såhär?

Mycket bra!!

En liten rättning så inte en petimeter-lärare saglar av glädje med sin rödpenna. Sätt

lim(-2/t+1) så du visar begränsningen. Resultatet är detsamma, men det visar på att du vet vad du gör.

Sedan kombinerar du ihop allt med 0-2-integralen och har därmed visat att integralen är ändlig.

Du är grym Trinity2!
Är det jämförelsesatsen som säger att vi kan jämföra en integral f(x) med en annan större integral g(x) och om g(x) är konvergent så är f(x) också konvergent?

Hur ska jag kombinera allt med 0-2-integralen ?

Jag vet inte hur jag ska integrera från 0-2 den ursprungliga integralen när jag inte kan hitta en primitiv funktion till den. Hur skriver man det?

Alex; skrev:

Du är grym Trinity2!
Är det jämförelsesatsen som säger att vi kan jämföra en integral f(x) med en annan större integral g(x) och om g(x) är konvergent så är f(x) också konvergent?

Hur ska jag kombinera allt med 0-2-integralen ?

Jag vet inte hur jag ska integrera från 0-2 den ursprungliga integralen när jag inte kan hitta en primitiv funktion till den. Hur skriver man det?

Visst är jag! :)

Ja, jämförelsesatsen.

Du har visat att INT på [2,oo] < ett tal, säg M

INT på [0,2] är ett kompakt intervall och integranden har ingen singularitet utan är kontinuerlig och integrerbar varför den är ändlig (den är

men det bryr vi oss ej om. Vi låter den ha det ändliga värdet A.

Alltså är 

INT på [0,oo) < A+ M < oo

och därmed konvergent.

PS. Den primitiva funktionen är

men det vara inget jag orkade räkna ut, utan frågade ett program…

Man börjar med en partialbråksuppdelning, sedan en listig omskrivning och sedan en substitution, och sedan kvadratkomplettering, med en ny substitution och ett j-kla harvande. Inget man direkt inser (eller orkar räkna ut i Matte 5. Kommer i analys 1 på uni/högskola).

Hela integralens värde är

Jag förstår inte varför man får så komplicerade uppgifter i matte 5. Har nu suttit hela dagen med en fråga. Jag är oerhört tacksam för din hjälp och tålamod. Tycker du att lösningen är nu komplett eller behöver jag lägga till något mer? 

Allt är där men i lite oordning. Försök strukturera upp det med egna ord i stil med

Ma5 är en bra förberedelse för vidare studier. Det är bra du läser den. 

Uppgifterna verkar först vara svåra men det följer ett mönster. Gör ett par så skall du se att det går lättare. Det som ofta upplevs svårt är kombinatorik. Här man kan man lätt "köra av vägen" direkt med ett "feltänk", även på en enkel fråga.

Jag är väldigt tacksam för hjälpen!