visa geometriska medelvärdet och aritmetiska medelvärdet
jag vet inte riktigt hur jag ska börja med den här uppgiften
Jag ser inte lösningen direkt, men jag skulle börja med att dra några nya sträckor: höjden i den stora triangeln, och radien från cirkelns medelpunkt till där den tangerar triangelns högra sida.
Laguna skrev:Jag ser inte lösningen direkt, men jag skulle börja med att dra några nya sträckor: höjden i den stora triangeln, och radien från cirkelns medelpunkt till där den tangerar triangelns högra sida.
Det ser ut som att vi får en likbent triangel
Fast jag menade inte en radie till C, utan till den punkt (som inte heter nåt än) där cirkeln tangerar triangeln.
Då du ritat några hjälplinjer kan du nog använda likformighet för flera trianglar och därmed sätta upp samband ur vilka du så småningom kan få fram de påstådda bevisen.
Börja, så kan vi hjälpas åt.
Om din sträcka till C i bilden är lika lång som sträckan från spetsen till C (alla punkterna borde få namn, så det går att att prata om dem), så är det en likbent triangel där, ja, så det kan vara intressant. Försök bevisa det. Jag tror dock inte att det stämmer. Tänk om triangeln vore mycket spetsig.
Mitt förslag är att du drar en linje från cirkelns medelpunkt (kallas O) till den punkt där cirkeln tangerar linje BC. Kalla denna punkt för F. Nu kan du jämföra trianglarna BOF och triangel BOH, där punkt H är mittpunkten på sidan AB.
De båda trianglarna är rätvinkliga och har en sida gemensam. Ser du några andra likheter ?
Kalla mittpunkten på sidan DC för G.
Dra även en linje från O till punkt C. Då får du två rätvinkliga trianglar, dvs OGC samt OFC.
Dessa har hypotenusan OC gemensam.
Målet är att uttrycka dess längd via de två trianglarna med Pythagoras sats, uttryckt i variablerna a,b,c och d.
I detta uttryck (likhet) kan du så småningom eliminera d, så att du så småningom kan uttrycka c i a och b och få det aritmetiska medelvärdet. Och då är halva lösningen klar.
Efter att du bevisat sambandet för det aritmetiska medelvärdet kan du använda detta samband för att få det geometriska medelvärdet
Då är målet att finna ett uttryck, ekvation, som innehåller de fyra variablerna och därifrån få ett samband där d uttrycks i a och b.
En möjlighet är att jobba med en triangel vars sidor innehåller dessa variabler. Jag skapade en triangel genom att dra en linje från C vinkelrätt mot basen, dvs AB och kallar skärningspunkten för J.
Se bifogad bild.
Pythagoras sats på denna tringel ger det önskade sambandet.
Fråga om någon del är oklar.
