Visa genom derivatans definition (Matematik/Matte 3/Derivata)

Fortsätt bara, du är rätt ute. Förenkla enligt $\frac{1}{(x + h)^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = \frac{?}{x^{2} (x + h)^{2}}$ där jag lämnat täljaren för att det inte ska bli för enkelt. I nästa steg låter du h gå mot noll och förenklar. Säg till om du behöver mer ledning på vägen.

Åh så snällt! Jag ska försöka, tack så länge

hur försvann h från nämnaren?

NoraKemi skrev :
Åh så snällt! Jag ska försöka, tack så länge
hur försvann h från nämnaren?

Det kommer att visa sig då du har tagit fram täljaren (det som PeBo kallade "?") och förenklat den.

Då ser du att du kan bli av med h i nämnaren.

Men hur tar jag fram täljaren? Hur får man ens fram ett likhetstecken?

Se till att du har samma nämnare på de båda talen genom att förlänga på lämpligt sätt.

Känns som jag har gjort fel..

Första bråket i täljaren behöver också förlängas för att få liknämnigt.

Men nämnaren blir ju ändå lika? Det finns en x^2 om skiljer dem

NoraKemi skrev :
Men nämnaren blir ju ändå lika?

Nej.

Det finns en x^2 om skiljer dem

Just det. Ena nämnaren är x^2(x+h)^2, andra nämnaren är (x+h)^2

De två ska vara samma, om du skall kunna subtrahera de två bråken.

Exempel med siffror: Om du skall beräkna 3/7 - 1/5 vill du nog helst räkna som 15/35 - 7/35 = 8/35

Ok menade att de var olika hehe. Men hur ska jag få dem till att bli lika?

Precis på samma sätt som du förenklar

1/2 - 1/3

NoraKemi skrev :
Ok menade att de var olika hehe. Men hur ska jag få dem till att bli lika?

Precis som vanligt, förläng det ena bråket med det andra bråkets nämnare och det andra bråket med det första bråkets nämnare.

Exempel:

$\frac{3}{7} - \frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 7} - \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 5}$

Är jag på rätt spår nu?

Du har tappat bort ett h i "mittentermen" när du har kvadrerat. Det skall bli 2xh, inte bara 2x. Det felet har följt med ända ner och gör att du inte kan förkorta bort ett h när du skulle vilja det.

Åh tack, har gjort om nu, men fastnar i steget där jag bör faktorisera.

Bryt ut h ur täljaren.

2xh+h^2 = 2x*h+h*h = h*(2x+h).

Nu kan du förkorta bort h.

Då hamnar jag här

Nej, det h du skall ta bort i nämnaren är det som är allra långst ner.

Får man göra så? Och varför isåfall?

Sen när jag gjort det så får jag rätt svar men jag saknar ett minustecken

Du kan inte förkorta på det sättet du har gjort, och om du inte tar bort det h du har i nämnaren till hela uttrycket kan du inte låta h gå mot 0.

Du måste ha ett utbrutet h som är en egen faktor för att kunna förkorta bort det. Det har du inte "på mittenvåningen".

Okej tack jag förstår!! Men varför ska det va minus?

Du har glömt bort parentesen runt större delen av täljaren på översta raden. Hade du haft kvar dem, skulle du ha sett att det blev minus.

Lessen att jag var lite otydlig: När jag säger "förenkla enligt" så är det inte hela uttrycket jag visar utan bara delen ovanför bråkstrecket under vilket du har h. Betydelsen av det uttrycket är att för varje liten ökning h får $\frac{1}{x^{2}}$ ett delta som ges av

$\frac{1}{(x + h)^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2} (x + h)^{2}} - \frac{(x + h)^{2}}{x^{2} (x + h)^{2}} = \frac{x^{2} - (x^{2} + 2 x h + h^{2})}{x^{2} (x + h)^{2}} = \frac{- 2 x h - h^{2}}{x^{2} (x + h)^{2}} = - h \frac{2 x + h}{x^{2} (x + h)^{2}}$

delar man det deltat (som är f(x+h)-f(x)) i formeln (f(x+h)-f(x))/h) med ökningen h så får man

$- \frac{2 x + h}{x^{4} + 2 x^{3} h + x^{2} h^{2}}$ som när man låter h gå mot noll blir $- \frac{2 x}{x^{4}} = - \frac{2}{x^{3}}$ .

Fundera också över (säger jag, i all välmening) vilken sorts kaffebrist det blev här:

Om det där kändes naturligt så behöver du bli mer bekant med hur du multiplicerar ut och in faktorer i bråk av det där slaget. Det här är inte svårt, men lite krångligt -- så man behöver kunna göra ganska många steg utan att göra fel.

Nu ska jag ta en kopp kaffe ;)

Åh men så snällt, ja måste bli bättre på detta, men det är bara att öva mer så knäcker jag snart koden förhoppningsvis. Hoppas kaffet smakar! Tack allesammans för hjälpen!!!