Visa genom att utgå från derivatans definition att funktionen f(x)=x⋅g(x) har derivatan...

Hej,

Addera och subtrahera $x\cdot g(x+h)$ i täljaren för att få

    $(x+h)g(x+h)-xg(x+h)+xg(x+h)-xg(x) = hg(x+h)+x\cdot(g(x+h-g(x)))$

vilket ger kvoten 

    $\displaystyle\frac{(x+h)g(x+h)-xg(x)}{h} = \frac{hg(x+h)+x\cdot\{g(x+h)-g(x)\}}{h} = g(x+h)+x\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}.$

Hänger tyvär inte med riktigt. Går lite för snabbt, varför x*g(x+h), och inte (x+h)g(x+h)? Varför subtraherar och adderar man överhuvudtaget i täljaren, ändrar inte det bråket helt om man inte gör något i nämnaren också?  

Noawoh skrev:

Hänger tyvär inte med riktigt. Går lite för snabbt, varför x*g(x+h), och inte (x+h)g(x+h)? Varför subtraherar och adderar man överhuvudtaget i täljaren, ändrar inte det bråket helt om man inte gör något i nämnaren också?  

Täljaren ändras inte eftersom det man gör är att addera talet 0.

Har inte stött på en sånhär uppgift innan så förklara gärna steg för steg vad du gör och varför du gör det (ditt första svar), så jag verkligen begriper. Du sa addera och subtrahera x*g(x+h), men varför? Då ändras väl ingenting, det är väl som att addera 1 och sedan subtrahera 1. Eller har jag missförstått? Och varför just x*g(x+h)? Är heeelt borta

$$\begin{gathered} \frac{lim}{h->0}\frac{(x+h)g(x+h)-xg\left(x\right)}{h} \\ \frac{(x+h)g(x+h)-xg\left(x\right)}{h}=\frac{xg(x+h)+hg(x+h)-xg\left(x\right)}{h}=\frac{x\left[g\right(x+h)-g(x\left)\right]+hg(x+h)}{h}= \\ \frac{x\left[g\right(x+h)-g(x\left)\right]}{h}+\frac{hg(x+h)}{h}=\frac{x\left[g\right(x+h)-g(x\left)\right]}{h}+g(x+h) \\ ⋮ \\ \frac{lim}{h->0}\frac{(x+h)g(x+h)-xg\left(x\right)}{h}= \\ \frac{lim}{h->0} x*\frac{\left[g\right(x+h)-g(x\left)\right]}{h}+g(x+h)=xg\text{'}\left(x\right)+g\left(x\right) \end{gathered}$$

Det enda som används är basic matte utan några särskilda trick. Det som är lite ovanligare i den här uppgiften är att det derivatan för g finns gömd i uppgiften.