Visa fundamentalsats som säger att en funktion är deriverbar
Försöker göra lite tuffare tenta-frågor och har fastnat på en när jag försöker gå igenom examinatorns lösning.
Bifogar en bild där frågan och lösningen står. Jag har lite svårt att förstå varför "A(x + h) - A(x) är arean under funktionsgrafen", när jag trodde den ekvationen snarare säger "detta är differensen mellan Y-koordinaterna med X-värde (x) respektive (x+h)".
Jag SER att det står "låt A(x) vara arean mellan funktionsgrafen och x-axeln till f på intervallet [a, x]" i frågan, men ska det inte vara ett integraltecken i så fall? Att integralen för A(x) mellan intervallen [a, x] är arean mellan funktionsgrafen och x-axeln.
Tycker frågan är riktigt klurig så förklara gärna väldigt förenklat så jag hänger med hur ni hade löst den, eller helt enkelt hur examinatorn har löst den. För mig kommer det inte heller naturligt att f(x)h ≤ A(x+h) - A(x) ≤ f(x+h)h även om det säkert är rätt.
De har hittat på funktionen A(x). Att du är van vid att beräkna areor under grafer som integraler gör dig förvirrad eftersom att de nu uttrycker det som vanliga funktioner, men det finns ingenting som säger att A(x) om man faktiskt skulle skriva ut den inte skulle kunna skrivas som du vill, dvs. med integraler.
För att förklara att f(x)h ≤ A(x+h) - A(x) ≤ f(x+h)h: de hade sagt att funktionen var växande. Anta att vi skulle approximera arean under grafen; hur skulle man då kunna göra?
Man skulle kunna anta att det första värdet i intervallet, f(x), beskriver alla värden i intervallet väl, och i sådant fall skulle arean kunna beskrivas som höjden gånger bredden, dvs. f(x) gånger h.
Man skulle kunna anta att det sista värdet i intervallet, f(x+h), beskriver alla värden i intervallet väl, och i sådant fall skulle arean kunna beskrivas som höjden gånger bredden, dvs. f(x+h) gånger h.
Eftersom att vi har vår A-funktion har vi dock ett exakt värde på arean, nämligen A(x+h) - A(x).
Vad kan vi säga om de två approximationerna? Jo, eftersom att f-funktionen var växande så borde den första ge ett värde lägre än den verkliga arean, eftersom vi multiplicerar med det pyttiga värdet f(x), så f(x)h ≤ A(x+h) - A(x). På samma sätt borde den andra ge ett värde större än den verkliga arean, eftersom vi multiplicerar med det maffiga värdet f(x+h), så A(x+h) - A(x) ≤ f(x+h)h.
Gjorde det situationen klarare?
Bedinsis skrev:De har hittat på funktionen A(x). Att du är van vid att beräkna areor under grafer som integraler gör dig förvirrad eftersom att de nu uttrycker det som vanliga funktioner, men det finns ingenting som säger att A(x) om man faktiskt skulle skriva ut den inte skulle kunna skrivas som du vill, dvs. med integraler.
För att förklara att f(x)h ≤ A(x+h) - A(x) ≤ f(x+h)h: de hade sagt att funktionen var växande. Anta att vi skulle approximera arean under grafen; hur skulle man då kunna göra?
Man skulle kunna anta att det första värdet i intervallet, f(x), beskriver alla värden i intervallet väl, och i sådant fall skulle arean kunna beskrivas som höjden gånger bredden, dvs. f(x) gånger h.
Man skulle kunna anta att det sista värdet i intervallet, f(x+h), beskriver alla värden i intervallet väl, och i sådant fall skulle arean kunna beskrivas som höjden gånger bredden, dvs. f(x+h) gånger h.
Eftersom att vi har vår A-funktion har vi dock ett exakt värde på arean, nämligen A(x+h) - A(x).
Vad kan vi säga om de två approximationerna? Jo, eftersom att f-funktionen var växande så borde den första ge ett värde lägre än den verkliga arean, eftersom vi multiplicerar med det pyttiga värdet f(x), så f(x)h ≤ A(x+h) - A(x). På samma sätt borde den andra ge ett värde större än den verkliga arean, eftersom vi multiplicerar med det maffiga värdet f(x+h), så A(x+h) - A(x) ≤ f(x+h)h.
Gjorde det situationen klarare?
Enormt mycket klarare. Är helt med på nu hur man bevisar att A'(x) = f(x).
Men en sak jag fortfarande undrar över är meningen i slutet på lösningsförslaget "I den högre identiteten använder vi att funktionen f är kontinuerlig. Ett liknande argument för h < 0 ger att funktionen A är deriverbar". Vad säger egentligen den meningen? Undrar främst över "i den högre identiteten".
Har man inte redan visat att funktionen är deriverbar genom att visa att A'(x) = f(x)?
Att en funktion är kontinuerlig i x betyder att . Är det bekant?
= (sätt a = x + h, a går då mot x omm h går mot noll) = .
Undrar främst över "i den högre identiteten".
Det står fel, det skall vara "den högra identiteten", d v s den likhet som är till höger, alltså den som handlar om att limes för f(x+h) = f(x) när h går mot 0.
