Visa följande formler för trigonometriska funktioner utifrån additionssatserna

Man brukar utgå från VL när det gäller sådana här bevis.

Här är ett bevis
Edit: fel bevis ...

Edit 2:  Sätt x=a+b   och   y=a-b     (ser du varför du alltid kan göra detta?)
och använd additionsformlerna

Jag kommer också använda att om
x=a+b
y=a-b

Så får man om man kombinerar dem att 
$a=\frac{x+y}{2}$    och    $b=\frac{x-y}{2}$

$$\begin{gathered} \cos (a+b)+\cos (a-b)=\cos \left(a\right)\cos \left(b\right)-\sin \left(a\right)\sin \left(b\right)+\cos \left(a\right)\cos \left(b\right)+\sin \left(a\right)\sin \left(b\right)= \\ =2\cos \left(a\right)\cos \left(b\right)=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) \end{gathered}$$

man kan göra dessa med standard formler.  jag börjar alltid med den mest "komplicerade" sidan, där finns det mest att arbeta med. detta är iaf en rätt svår uppgift av denna typen.

$$\begin{gathered} \cos \left(\frac{x+y}{2}\right)=\cos (\frac{x}{2}+\frac{y}{2})\stackrel{\cos (a+b) }{\to } \cos \left(\frac{x}{2}\right)\cos \left(\frac{y}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\sin \left(\frac{y}{2}\right) \\ ⋮ \\ ⋮ \\ \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)\stackrel{\cos (a+b) }{\to } \cos \left(\frac{x}{2}\right)\cos (-\frac{y}{2})-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\sin (-\frac{y}{2})= \\ \cos \left(\frac{x}{2}\right)\cos \left(\frac{y}{2}\right)+\sin \left(\frac{x}{2}\right)\sin \left(\frac{y}{2}\right) \\ ⋮ \\ ⋮ \\ \cos \left(\frac{x+y}{2}\right)*\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)= \\ \left[\cos \right(\frac{x}{2}\left)\cos \right(\frac{y}{2})-\sin (\frac{x}{2}\left)\sin \right(\frac{y}{2}\left)\right]*\left[\cos \right(\frac{x}{2}\left)\cos \right(\frac{y}{2})+\sin (\frac{x}{2}\left)\sin \right(\frac{y}{2}\left)\right] \\ \stackrel{konjugat regel}{\to } {\left[\cos \right(\frac{x}{2}\left)\cos \right(\frac{y}{2}\left)\right]}^2-{\left[\sin \right(\frac{x}{2}\left)\sin \right(\frac{y}{2}\left)\right]}^2= \\ {\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right){\cos }^2\left(\frac{y}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right){\sin }^2\left(\frac{y}{2}\right) \\ ⋮ \\ ⋮ \\ {\sin }^2\left(A\right)=\frac{1-\cos \left(2A\right)}{2} \\ {\cos }^2\left(A\right)=\frac{1+\cos \left(2A\right)}{2} \\ ⋮ \\ ⋮ \\ {\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right){\cos }^2\left(\frac{y}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{x}{2}\right){\sin }^2\left(\frac{y}{2}\right) \stackrel{{\sin }^2\left(A\right), {\cos }^2\left(A\right)}{\to } \\ \left[\frac{1+\cos \left(x\right)}{2}\right]* \left[\frac{1+\cos \left(y\right)}{2}\right]- \left[\frac{1-\cos \left(x\right)}{2}\right]* \left[\frac{1-\cos \left(y\right)}{2}\right]= \\ \left(\frac{1+\cos \left(y\right)+\cos \left(x\right)+\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)}{4}\right)-\left(\frac{1-\cos \left(y\right)-\cos \left(x\right)+\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)}{4}\right)= \\ \frac{2\cos \left(y\right)+2\cos \left(x\right)}{4}=\frac{\cos \left(y\right)+\cos \left(x\right)}{2} \\ ⋮ \\ ⋮ \\ 2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)*\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)=2\left[\frac{\cos \left(y\right)+\cos \left(x\right)}{2}\right]=\cos \left(y\right)+\cos \left(x\right) \end{gathered}$$