Visa en volym

Detta är integralkalkylens medelvärdessats fast för flera variabler. Envariabelversionen finns beskriven här:

https://sv.wikipedia.org/wiki/Medelv%C3%A4rdessatsen#Integralkalkylens_medelv%C3%A4rdessats

I två variabler är den övergripande bevisstrategin samma, man måste bara modifiera några saker eftersom vi nu arbetar i flera variabler. Kika på beviset på Wikipediasidan och försök omforma det till att fungera i två variabler, så kan vi arbeta därifrån.

AlvinB skrev:

Detta är integralkalkylens medelvärdessats fast för flera variabler. Envariabelversionen finns beskriven här:

https://sv.wikipedia.org/wiki/Medelv%C3%A4rdessatsen#Integralkalkylens_medelv%C3%A4rdessats

I två variabler är den övergripande bevisstrategin samma, man måste bara modifiera några saker eftersom vi nu arbetar i flera variabler. Kika på beviset på Wikipediasidan och försök omforma det till att fungera i två variabler, så kan vi arbeta därifrån.

Men varför kan man inte göra så som beviset säger i den wiki-länken, men typ en upprepad version då? så man räknar upp bevis 1, tar det svaret, sen gör bevis 1 igen, å  så sedan multiplicera dom?

Jag skriver satsen du vill studera, så att det blir läsbart.

Låt $D \subset \mathbb{R}^2$ vara en kompakt kvadrerbar bågvis sammanhängande mängd och låt $f : D \to \mathbb{R}$ vara en kontinuerlig funktion. Visa att det finns en punkt $(\phi,\gamma)\in D$ sådan att

    $\displaystyle\frac{1}{\text{Area}(D)}\cdot \iint_{D}f(x,y)\,dxdy = f(\phi,\gamma).$

Anmärkning: Det speciella funktionsvärdet $f(\phi,\gamma)$ kallas medelvärdet för funktionen $f$ över mängden $D.$

Albiki skrev:

Jag skriver satsen du vill studera, så att det blir läsbart.

Låt $D \subset \mathbb{R}^2$ vara en kompakt kvadrerbar bågvis sammanhängande mängd och låt $f : D \to \mathbb{R}$ vara en kontinuerlig funktion. Visa att det finns en punkt $(\phi,\gamma)\in D$ sådan att

    $\displaystyle\frac{1}{\text{Area}(D)}\cdot \iint_{D}f(x,y)\,dxdy = f(\phi,\gamma).$

Anmärkning: Det speciella funktionsvärdet $f(\phi,\gamma)$ kallas medelvärdet för funktionen $f$ över mängden $D.$

tack <3

mrlill_ludde skrev:

AlvinB skrev:

Detta är integralkalkylens medelvärdessats fast för flera variabler. Envariabelversionen finns beskriven här:

https://sv.wikipedia.org/wiki/Medelv%C3%A4rdessatsen#Integralkalkylens_medelv%C3%A4rdessats

I två variabler är den övergripande bevisstrategin samma, man måste bara modifiera några saker eftersom vi nu arbetar i flera variabler. Kika på beviset på Wikipediasidan och försök omforma det till att fungera i två variabler, så kan vi arbeta därifrån.

Men varför kan man inte göra så som beviset säger i den wiki-länken, men typ en upprepad version då? så man räknar upp bevis 1, tar det svaret, sen gör bevis 1 igen, å  så sedan multiplicera dom?

Vad menar du med "Svaret från bevis 1"?

Bevis är ett argument för att ett visst påstående är sant. Det går inte att ta "svaret" från ett bevis och stoppa in det i något annat bevis. Förklara lite mer utförligt hur du menar att du skulle kunna bevisa detta med upprepad användning av envariabelbeviset, eller om du kör fast på den fronten kan du få lite ledtrådar.