Visa egenskap för konvergenta serier.

Hej!

Detta är frågan:

När jag visar detta antar jag först att $\sum_{k = m}^{\infty} a_{k}$ är konvergent. Den kan delas upp enligt uttrycket som står i frågan. Vi får då en en konvergent serie = en ändlig summa + $\sum_{k = m}^{\infty} a_{k}$ , alltså måste $\sum_{k = m}^{\infty} a_{k}$ också vara konvergent. Jag gör liknande åt andra hållet men då antar jag att $\sum_{k = m}^{\infty} a_{k}$ ör konvergent. Detta känns ju för lätt och inte alls tillåtet. Jag vill gärna visa det i termer direkt från definition dvs om $\sum_{k = m}^{\infty} a_{k}$ konvergent gäller $\forall \epsilon > 0, \exists N : a_k < \epsilon, \forall k > N$ , men jag vet inte hur.

Låt S_1,n vara summan från 1 till n och Sⁿ summan från n till oändl. (Har inga summatecken i min mobil). Vi säger att du har visat att S¹konv ==> S^m konv.och vill nu visa omvändningen till detta. Antag därför att S¹divergent trots att S^m är konv. Du har resonerat rätt när du säger att S_1,n är en ändlig summa. Därför är enligt kända satser (bevisade med epsilon-deltaresonemang) S¹=S_1,n+Sⁿkonvergent i strid mot antagandet, varav påst följer. Det är alltsåinte epsilon-delta som löser uppgiften utan logiken bakom omvändningen till det första påståendet.

Tyckte det var svårt att avgöra vad som är känt och får användas och vad som följer av satsen man ska bevisa.

När du skriver ”säger att du har visat”, menar du då att jag visat (när isf?) eller att man låtsas att jag visat? Måste man inte visa båda hållen av ekvivalensen?

Undrar också vilka de andra satserna du hänvisar till är.

1. Jag uppfattade din fråga som gällande omvändningen till ==>, dvs <==, så jag antog att du kände dig klar med ==>.
2. En serie är följden (s_n)₁^oändl av partialsummorna. Då gäller att följden (a+s_n)₁^oändl konvergerar omm (s_n)₁^oändl konvergerar.

Då uttryckte jag mig dåligt. Menade att jag använde samma metod åt båda hållen och att den kändes väldigt dåligt. Tyckte du att den fungerar?

Ditt resonemang på ==> bör hålla. Den ändliga summan kan inte påverka konvergensen. Åt andra hållet är det lite knapphändigt med bara att "svansen" konvergerar.

Okej, tackar🙏

Svara

Visa senaste svar