Visa differentierbarhet i flera variablar

HaCurry skrev:

Ett vanligt sätt att visa differentierbarhet  är genom definitionen:

$f(a+h,b+k)-f(a,b)=A_{1}h+A_{2}k+\sqrt{h^2+k^2}\rho (h,k)$ där $\rho (h,k)\to 0 när (h,k)\to 0$

(två variablar). Det jag ofta ser är för att visa att en funktion är differentierbar så visar man likheten av ekvationen ovan, inte så konstigt, det jag dock tycker är konstigt är att man ibland istället visar att gränsvärdet:

$li{m}_{h,k\to 0,0}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-A_{1}h-A_{2}k}{\sqrt{h^2+k^2}}=li{m}_{h,k\to 0,0}\rho (h,k)$.

Vid en första anblick är det kanske inte så konstigt, man manipulerar om ekvationen i definitionen och tar gränsvärdet. Emellertid, det jag tycker är konstigt är att vi vet ju faktiskt inte om likhet stämmer, vi vill ju visa det, alltså kan det till exempel vara en olikhet av typen $\ge$ men gränsvärdet kan ändå vara lika som vi har sett i gränsvärdes teorin (satsen om gränsvärden för olikheter). Vad är det jag tänker fel?

All hjälp uppskattas!

Det verkar som att jag löste det själv! Jag verkade ha gjort något konstigt antagande.