Visa delbarhet genom induktionsbevis

Hej!

Jag har löst följande uppgift med kongruens:

Visa att $5 | 2^{4 n - 2} + 1$

Jag skulle dock vilja lösa den med hjälp av ett induktionsbevis, eftersom det tydligen också ska gå. Jag har dessvärre inte tillgång till någon lösning/facit, och vänder mig därför hit.

Såhär långt har jag kommit:

$2^{4 n - 2} + 1 = 5 k; k ä r e t t h e l t a l$

1. Provar med n=1

VL=4+1=5

Stämmer

2. Antar gäller för n=p, dvs

$2^{4 p - 2} + 1 = 5 k$

Då borde det även gälla för n=p+1.

Bevis??

Jag kommer inte fram till något uttryck, när jag sätter in n=p+1, som man kan bryta ut 5 ur, eller ens använda antagandet i... Tack på förhand för hjälp!

Ta den sista ekvationen och multiplicera båda led med 2^4. Kommer du vidare då?

Hmm nej... Vill du förklara?

Jag kan inte skriva snygga formler nu men du bör få ett uttryck som är likt det du fick när du satte in p+1. Sedan subtraherar du 15 från båda led. Ser du likheten?

Hej!

Du antar att

$2^{4p} = 4\cdot (1+5k)$

och vill visa att det finns ett heltal ( $n$ ) sådant att

Error converting from LaTeX to MathML

Notera att

$\displaystyle 2^{4p}\cdot 2^4 = 4^{3}\cdot (1+5k) = 4^3 + 20\cdot 16k.$

Kan du skriva $4^3$ som $4 + 20m$ för något heltal $m$ ?

Albiki

Tror jag kan fixa det nu! Kollade med en lärare också. Tack så mycket!!

Svara

Visa senaste svar