visa delbarhet

Hej

jag skulle behöva hjälp med följande:

Antag att $n, n + 1, n + 2 . . . n + 9$ är tio på varandra följande tal, sådant att inget av dem är delbara med 11.

Visa att $n \times (n + 1) \times (n + 2) . . . (n + 9) \equiv_{11} - 1$

Då vi vet att inget av talen får vara delbar med 11 och ska vara tio på varandra följande tal kan vi ju ta n=1 vilket som högst blir 10 och alltså inte jämt delbar med 11.

Ska man använda sig av $(p - 1)! \equiv - 1 (m o d p)$ men jag är inte med på hur man praktiskt ska använde det tyvärr.

Kan användas i ett delsteg men är inte nödvändigt. Detta kan man bara bruteforca på någon minut.

Första saken att inse är att om inget av talen är delbara med 11 så måste n vara kongruent med 1 modulo 11 för annars skulle något av de andra talen i produkten vara delbara med 11. (Fyll i detaljerna i resonemanget om du inte tycker det är uppenbart)

Alltså har man

$n \equiv_{11} 1$

Injicera detta i produkten med reglerna för modulär aritmetik.

jag är tyvärr fortfarande inte med på hur man ska gå till väga.

Vi har alltså $n \equiv_{11} 1$ men hur ska man då ta sig från det steget till att bevisa satsen i uppgiften, det är jag inte med på.

Om du vet att $n \equiv_{11} 1$ , vad gäller då för n + 1, n + 2, n + 3, ..., n + 9? Vad blir då produkten mod 11?

resten blir väl ett steg högre för varje steg högre vi går i n+1,n+2 osv

Vad är (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)...(n+10) kongruent med modulo 11?

D v s vad är 1*2*3*...*10 kongruent med modulo 11?

D v s vad är 10! kongruent med modulo 11?

får vi inte resten 10

Jo, och vad är det kongruent med (modulo 11)?

har vi inte att $10! \equiv_{11} - 1$ då vi får resten 10 vid division med 11

vilket ju även var det som vi skulle bevisa, men jag är inte helt med på varför det ska bli -1 och inte 1

Du fick ju fram att den "sammanlagda" resten är 10, och 10 är kongruent med -1 modulo 11 eftersom 11-1 = 10.

Svara

Visa senaste svar