Visa att W är ett delrum, och bestäm dimensionen

a) så jag vet att för att visa något är ett delrum behöver

T(v + w) = T(v) + T(w) och T(L * v)=L*T(v) (då L är ett tal som tillhör reella tal)

men jag vet inte om man kan använda detta till denna uppgift. W är mängden n x m matriser... som betyder väl att kolonerna i W är baserna för delrummet? alltså spannet av delrummet. Hur ska jag visa att W är ett delrum av M_nm?

b) man bestämmer ju dimensionen av en matris genom att kolla hur många oberoende vektorer eller i detta fall oberoende matriser. Som jag vet använder man ekvationen Ax=0. går det att använda detta i uppgift b?

Det du anger på a) är ju definitionen av en linjär avbildning T.

Vad du behöver visa är att om A och B är godtyckliga matriser i W så ligger A + B och cA också i W. Då har du visat att W är ett delrum.

På b) skulle jag försöka hitta en bas för W. Dimensionen är ju antalet element i en bas. Jag skulle utgå från en bas för V och mha denna försöka konstruera en bas för W.

PATENTERAMERA skrev:
Det du anger på a) är ju definitionen av en linjär avbildning T.

Vad du behöver visa är att om A och B är godtyckliga matriser i W så ligger A + B och cA också i W. Då har du visat att W är ett delrum.

På b) skulle jag försöka hitta en bas för W. Dimensionen är ju antalet element i en bas. Jag skulle utgå från en bas för V och mha denna försöka konstruera en bas för W.

jag förstår vad du menar med a, och har gjort det nu, tack för hjälpen

i b) uppgiften verkar det svårt att få fram en bas för W då W är alla n x m matriser A som uppfyller att range(A) är delrum av V eftersom W är oändligt många matriser

Jo, men tex $ℝ^{2}$ innehåller oändligt många vektorer men en bas för $ℝ^{2}$ består av endast två vektorer.

M_nm har dimensionen n x m. Eftersom W är ett delrum till M_nm så gäller det att dim(W) $\leq$ n x m.

Hur går det med denna? Kommer du vidare?

En användbar observation är att en matris A ligger i W om och endast om varje kolonn i A ligger i V.

Vet inte riktigt än hur jag ska lösa b frågan

Om W bara skulle bestå av alla $n\times m$ -matriser skulle dimensionen av W vara $nm$ .

Är du med på det?

Om vi nu lägger på ett villkor, nämligen att matrisernas kolonnrum ska utgöra ett delrum av $V$ som har dimensionen $k$ förstår vi att dimensionen av kolonnrummet får vara maximalt $k$ . Matrisens rang får vara maximalt $k$ .

Men vi har fortfarande $m$ möjliga platser för kolonnerna. Alltså måste dimensionen vara $km$ .

Jag vet inte om detta är ekvivalent med D4NIELS argumentation, men så här tänkte jag.

Låt ${\vec{b}}_{1}, \dots, {\vec{b}}_{k}$ vara en bas för V och inför ett antal matriser $μ (i, j), 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq k$ (i M_nm), vilka definieras så att kolonn i hos $μ (i, j)$ är lika med ${\vec{b}}_{j}$ och övriga kolonner är noll.

Med utgångspunkt i observationen i #5 så är det ganska lätt att se att dessa matriser spänner upp W, dvs varje matris i W kan skrivas som någon linjärkombination av ovan nämnda matriser. Jag lämnar det som en övning att visa att matriserna är linjärt oberoende och därför är de en bas för W. Antalet matriser är k $\cdot$ m så detta är dimensionen hos W.

Svara

Visa senaste svar