Visa att vinkeln CBF är rät
Uppgift:
“ABCDE är en regelbunden femhörning.
BF är en bisektris till vinkeln ABE.
Visa att vinkeln CBF är rät.”
Facits svar:
“Vinkel A = 108 grader (regelbunden femhörning)
Vinkel ABE = (180 grader – 108 grader ) / 2
(basvinklar i likbent triangel)
Vinkel CBF = 108 grader – 36 grader / 2 = 90 grader.”
Min lösning som jag kan eftersom jag vet att ena vinkeln är 90 grader, min lösning är ofullständig:
Till att börja med: Vad betyder vinkeln CBF? Vilken vinkel är det i den triangeln jag ska hänvisa till? Det finns tre vinklar i triangeln CBF. Hur kan jag veta att det är vinkeln i hörnet med benämning B som jag ska hänvisa till? Samma gäller för vinkeln ABE, där en bisektris dras från hörn B, och även där menar de att vinkeln ABE är i hörn B. Men det finns tre vinklar i den triangeln, även i hörnen A och E. Varför just vinkeln i hörn B?
Min andra fråga är att jag kan inte lösa denna uppgift utan att veta att jag ska få fram 90 grader. Facit visar en lösning för att få 90 grader till vinkeln CBF, som jag i min redovisade uppgift har som vinkel a och b, vilka blir a = 18 grader och b = 72 grader. Detta resulterar i 90 grader. Men vägen dit använder jag mig av en halvcirkel för att veta att 72 grader blir vinkel a, och 108 - 72 grader blir 36 grader och bisektrisen blir 18 grader. 108 grader - 18 grader = 90 grader. Och vinkel CBF är rät. Men detta är gissningslekar och jag räknar ut att vinkel CBF är rät, men detta är bara något jag testar mig fram till.
Hur räknar facit och hur har den som löst uppgiften kunnat veta att vinkel CBF blir 90 grader utan att gissa sig fram till en lösning?
När man skriver vinklar är det mittenbokstaven man skall kolla på. I är det alltså vinkeln vid i triangeln man skall kolla efter. Hade det varit hade det varit vinkeln vid o.s.v.
Här är mitt försök att förklara hur facit resonerar:
Först, om det står vinkeln ABE betyder det vinkeln vid B som du får om du går från A till B till E. Det är alltså vinkeln vid mittenbokstaven men i detta fall har du tre vinklar vid B och specificerar vilken genom att ange vilka strålar som bildar vinkeln.
I denna uppgift får du en triangel ABE. Denna är likbent och du vet vinkeln EAB. Det innebär att du kan räkna ut vinkeln ABE. Sedan vet du att ABF är ABE/2 då BF är en bisektris. Som ett avslut kan du ny konstatera att CBF = CBA - ABF.
Vinkeln CBF är den vinkel där B är i vinkelspetsen och C och F i andra änden av vardera vinkelbenet. Detta beteckningssätt är standard, så du bör lära dig det.
För att utveckla facits svar lite: Varje vinkel i en femhörning är . Triangeln ABE är likbent. Därför är vinkeln ABE (vinkeln AEB också). Eftersom BF är en bisektris är vinkeln ABF (vinkeln FBE också). Vinkeln ABC är en summa av vinklarna ABF och CBF. Alltså är vinkeln CBF lika med .
Nu försöker jag förstå din lösning.
Vad är det du kallat vinkeln a? Det är ingen bra beteckning av tre orsaker: 1) man brukar använda stora bokstäver för att beteckna länden på sidor och stora bokstäver för att beteckna punkter. 2) Du har inte markerat i din bild var vinkeln a finns. 3) Om man tittar på bilden från boken, ser man att vinkeln A är trubbig, så den kan inte vara . Av uträkningarna att döma, är det vinkeln mellan sidan AB och förlängningen av sidan BC som du kallar a. Sätt en punkt P i änden av den linjen och kalla vinkeln PAB i stället för a, så blir det ett bra bevis.
Förutom detta är ditt bevis lika bra sen det från facit, tycker jag.
Nu har jag gjort två lösningar. Den ena är en ekvationslösning och den andra en lösning där jag steg för steg bevisar att vinkeln CBF är 90 grader.
Men en fråga jag har: hur kan jag veta att en regelbunden femhörning är liksidig? Är det för att varje hörn är 108 grader och förlänger jag en sida så blir inte varje sida enskilt 108 grader? Och tillsammans ska de bli 540 grader.
En regelbunden månghörning definieras så att alla sidor är lika långa och alla vinklar är lika stora. Det vet man alltså direkt från uppgiften.
