Visa att uttrycket är ett heltal för varje heltal n

Jag skulle prova ett polynom. Hur kan ett polynom p(n) se ut vars kvadrat är ditt fjärdegradspolynom?

Hej!

För att skriva $n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n+1$ som en kvadrat kan vi börja med att notera ett par saker:

1. Vilken är den högsta exponenten ($r$) som får förekomma inuti kvadraten?

2. Vad måste det vara för koefficient framför den termen ($a$)?

3. Vad måste konstant termen vara ($c$)?

Ansätt sedan ett generellt polynom av grad $r$ och kvadrera det, jämför det sedan med ditt polynom.

Med hjälp att detta kan du hitta $a$ och $c$ och $r$ i $\left(an^{r}+bn+c\right)^{2}$.

Bestäm $b$ med hjälp av dina värden på $a$, $c$ och $r$ genom att jämföra koefficienter: $\left(an^{r}+bn+c\right)^{2}=n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n+1$.

(x²+3x+1)²

Moffen skrev:

Hej!

För att skriva $n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n+1$ som en kvadrat kan vi börja med att notera ett par saker:

1. Vilken är den högsta exponenten ($r$) som får förekomma inuti kvadraten?

2. Vad måste det vara för koefficient framför den termen ($a$)?

3. Vad måste konstant termen vara ($c$)?

Ansätt sedan ett generellt polynom av grad $r$ och kvadrera det, jämför det sedan med ditt polynom.

Med hjälp att detta kan du hitta $a$ och $c$ och $r$ i $\left(an^{r}+bn+c\right)^{2}$.

Bestäm $b$ med hjälp av dina värden på $a$, $c$ och $r$ genom att jämföra koefficienter: $\left(an^{r}+bn+c\right)^{2}=n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n+1$.

Finns det någon generell metod för att lösa ut vad b är?

Finns det någon generell metod för att lösa ut vad b är?

Vad menar du? I ditt fall ja, men vad menar du med "generell"? Det är ju en väldigt specifik uppgift du har.

Har du gjort steg 1-3? 

Men jag kan citera mitt eget inlägg om det hjälper:

Bestäm $b$ med hjälp av dina värden på $a$, $c$ och $r$ genom att jämföra koefficienter: $\left(an^{r}+bn+c\right)^{2}=n^{4}+6n^{3}+11n^{2}+6n+1$.

Om r är större än 2 så behövs det fler termer, men r kan bara vara 2 här.

Eftersom konstanttermen är 1 kan konstanttermen i p(n) bara vara 1 eller -1, men om den har fler faktorer får man kanske prova alla. 

Alternativt med induktion:

$p(n)=\sqrt{1+n(n+1)(n+1)(n+3)}$

Bassteget

$n=0\Rightarrow p(0)=\sqrt{1}=1$: är ett heltal.

Induktionssteget

$p(n+1)-p(n)=...=2n+4$ (heltal)

Alltså är:

$p(1),p(2),...$ heltal

Påståendet är sant även för negativa heltal eftersom:

$p(n-1)-p(n)=-2n-2$

Alternativt:

Du vill visa att för varje heltal n finns ett heltal k sådant att

$1+n(n+1)(n+2)(n+3)=k^2$

Dvs

$n(n+1)(n+2)(n+3)=k^2-1=(k-1)(k+1)$

Multiplicera de yttre och inre faktorerna i VL:

$(n^2+3n)(n^2+3n+2)=(k-1)(k+1)$

Så ser du att 

$k=n^2+3n+1$

Som är ett heltal om n är heltal.