Visa att uttryck är större eller lika med 0

Det stämmer att det inte går att endast testa sig fram. Istället, börja med att utveckla parentesen, och förenkla så långt det går. Vad får du då för vänsterled?

$$\begin{gathered} (a+b{)}^2-4ab\ge 0 \\ (a^2+2ab+b^2)-4ab\ge 0 \end{gathered}$$

Bra. Det kan förenklas ytterligare:

$$\begin{gathered} a^2+2ab+b^2-4ab\ge 0 \\ {a}^2-2ab+b^2\ge 0 \\ {\left(a-b\right)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

Nu finns det tre fall, antingen är a större än b. Det ger en positiv skillnad, som efter kvadrering fortfarande är positiv. De andra två fallen är:

1. a är lika med b. Vad händer då med vänsterledet? Vad händer när VL kvadreras?
2. b är större än a. Vad händer då med vänsterledet? Vad händer när VL kvadreras?

1. Då blir HL=VL

2. Differensen blir ett negativt tal. Negativt tal i kvadrat blir positivt.

Nu hänger jag med, tack så mycket för förklaringen!

Korrekt. Bra!

Hej!

Du har alltså visat att oavsett vad talen $a$ och $b$ är, så är talet $(a+b)^2-4ab$ aldrig negativt. Genom att använda matematisk resonemang har du på en och samma gång undersökt oändligt många kombinationer av tal $a$ och $b$.

Om du skulle ha undersökt enskilda specialfall så hade du fått hålla på under resten av ditt liv -- och vid slutet av ditt liv skulle du fortfarande ha oändligt många specialfall kvar att undersöka. Med hjälp av Matematik behövde du bara spendera några minuter för att vara helt säker på att $(a+b)^2-4ab$ aldrig kan vara ett negativt tal. Det är kraften hos Matematik!

Albiki