Visa att uppgift, gränsvärde och serie.

Hej!

Jag försöker förstå en uppgift som vår föreläsare har gått igenom. Men det är ett några steg som jag inte hänger med på och skulle behöva hjälp med.

Jag har försökt markera just de stegen så tydligt jag kan på pappret.

Jag förstår inte varför olikheten som jag har markerat med en etta gäller?

2. Och steget som jag har markerat med en tvåa förstår jag inte heller. Varför kan man ta bort summatecknet framför integralen bara sådär? Att fn(k) är större än fn(k+1) förstår jag, men inte hur integralen hamnar emellan?

3. Och steget som jag har markerat med en trea. Jag förstår inte varför summa från 1 till n fn(k+1) är lika med summa från 2 till (n+1) fn(k)?

Jag hoppas inte att stegen är otydliga. Stort tack.

Ettan följer nog från medelvärdesatsen för integraler: Det finns ett $c \in (k,k+1)$ så att $\int_{k}^{k+1} f_{n}(x) dx = f_{n}(c)(k+1-k)=f_{n}(c)$ . Men $f_{n}$ är avtagande så $f_{n}(k+1)\leq f_{n}(c) \leq f_{n}(k)$ .

Fråga 1

Eftersom integranden avtar är 1 gånger f_n(k) större än 1 gånger f_n(k+1)

(Tänk dig en rektangel med bredd 1 och höjd f(k) resp f(k+1).

Integralen från k till k+1 blir en arean av en figur som täcks av den första rektangeln och täcker den andra.

Ser att du fått ett svar som bygger på medelvsatsen, den är ofta användbar.

Har inte tittat på de två andra frågorna.

Fråga 2

Följer inte det av fråga 1? Jag menar om varje ”överrektangel” är större än motsvarande integralsteg som är större än motsvarande ”underrektangel” så blir översumman större än hela integralen som blir större än undersumman.

Fråga 3

Det ser ut som en omindexering. För att ta ett enklare exempel:

Summan av k² då k går från 5 till 6 är samma som summan av (k+1)² när k går från 4 till 5.

Tittar på din fråga 2 igen. Om du har en funktion och bildar

(int från 1 till 2) + (int från 2 till 3) + (int från 3 till 4) + … + (int från k till k+1)

så får du just (int från 1 till k+1)

Därför kan du bli av med summatecknet.

Stort tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar