"Visa att"-uppgift

"Visa att för alla x där båda leden är definierade gäller följande samband" lyder uppgiften och följs av $\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\tan x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

Jag har kommit så här långt

VL = $\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}$

När jag kikat på lösningen på nätet ser jag att man fortsatt såhär:

$\frac{1}{\sin x} - \frac{c os x}{s i n x}$

Första frågan är hur man kan flytta nämnaren i nämnaren över till täljaren?

Lösningen fortsätter:

$\frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$

$\frac{1 - \cos x (1 + \cos x)}{\sin (1 + \cos x)}$

Ang. det sista steget: När man förlänger både nämnaren och täljaren så där, varför tar de inte bort varandra omedelbart så man lämnas med det man hade innan?

Finns det konkreta sätt att lära sig sådana knep eller är det bara matematisk intuition det handlar om?

Att $\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x}{\sin x}$ följer av en allmän regel för bråk: $\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$ . Om man multiplicerar båda led med a/b så ser man att det stämmer.

Andra frågan: ja, om man har förlängt med 1+cosx så kan man förstås "förenkla" tillbaka genom att förkorta igen, men idén här är att förlängningen faktiskt förenklar: (1-cosx)(1+cosx) = 1 - cos²x, och detta förväntas man se kan förenklas ytterligare (trigonometriska ettan).

Laguna skrev:
Att $\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x}{\sin x}$ följer av en allmän regel för bråk: $\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$ . Om man multiplicerar båda led med a/b så ser man att det stämmer.
Andra frågan: ja, om man har förlängt med 1+cosx så kan man förstås "förenkla" tillbaka genom att förkorta igen, men idén här är att förlängningen faktiskt förenklar: (1-cosx)(1+cosx) = 1 - cos²x, och detta förväntas man se kan förenklas ytterligare (trigonometriska ettan).

Tack så jättemycket. Upptäckte att jag inte har helt koll på bråkreglerna.

Svara