Visa att talet x är delbart med 56
Asså det där med Z7 och Z8 är inget jag hade kommit på själv... lösningen känns väldigt mycket "hokus pokus".
Z7 exempelvis ingår alla element i Z modulo 7 (dvs. elementen 0,1,2,3,4,5,6)
Det är inte hokus pokus, utan vanlig modulär aritmetik. Att x är kongruent med 0 modulo m är samma sak som att x är delbart med m. Om vi vill visa att ett tal är delbart med 56 = 7*8 så kan vi visa att x är kongruent med 0 mod 7 och mod 8.
Tillägg: 2 dec 2024 15:07
Att "räkna I " är samma sak som att räkna modulo 7, och samma för mod 8.
Antagligen har lösningen använt sig av några räkneregler som ger svaret. Dessa kan jag dock inte, så jag räknade för hand och kom fram till varför det funkar.
Till att börja med har vi själva talet, (104600120)8. Om man skriver vad den slingan med siffror betyder vad gäller värde blir det ju i själva verket
analogt med att om vi bara har det decimala talet 104600120 så blir det
För att kontrollera att (104600120)8 är delbart på 8 dividerar vi varje term ovan med 8
Nu är dock varje* term redan en multipel utav 8 så resten vid varje division kommer att bli 0, eftersom det går jämnt ut.
För att kontrollera att (104600120)8 är delbart på 7 dividerar vi varje term ovan med 7
Eftersom att vi har en multipel med 8 i alla* termer ovan så kan det vara värt att se vad resten blir då man tar en multipel av 8 delat på 7. Observera att så snart som en term involverar att man dividerar 7 med 7 kan man ta bort den termen eftersom den går jämnt ut och därmed inte påverkar vad resten kommer bli.
Och så vidare.
Om vi då hade
så kan vi göra uppdelningen
Sedan kan man fortsätta på samma vis för att ersätta alla 8n-termer igen tills att man slutligen kommer komma fram till
Om den summan går jämnt ut med 7 så delar 7 talet.
Man kan använda ovanstående bevisföringsmetod för att bevisa att siffersumman i alla tal delbara med 9 är en multipel av 9.
*Jag inser nu i efterhand att jag ljög lite. Den sista termen har 80 i sig men detta blir 1 så den saknar multipel av 8. Som tur är var den dock även en multipel av 0 så den påverkade inte vad resten blev.
Gustor skrev:Det är inte hokus pokus, utan vanlig modulär aritmetik. Att x är kongruent med 0 modulo m är samma sak som att x är delbart med m. Om vi vill visa att ett tal är delbart med 56 = 7*8 så kan vi visa att x är kongruent med 0 mod 7 och mod 8.
Tillägg: 2 dec 2024 15:07
Att "räkna I " är samma sak som att räkna modulo 7, och samma för mod 8.
Jag kopplar inte logiken dock och därav känns det som magi... 😕 Varför just räkna i Z7 och Z8? (jag ser att 7 och 8 är delbart med 56 men det är även 14 x 4 såklart eftersom 8 x 7 = 4 x 2 x 7 = 14 x 4) så vi skulle också kunna "räkna i Z14 och Z4" Men basen för x är ju 8 och därav antar jag att Z8 blir praktiskt... men asså jag fattar inte logiken det där med att "räkna i Z7 eller Z8 " känns inte logiskt alls... det faller inte naturligt för mig
Bedinsis skrev:Antagligen har lösningen använt sig av några räkneregler som ger svaret. Dessa kan jag dock inte, så jag räknade för hand och kom fram till varför det funkar.
Till att börja med har vi själva talet, (104600120)8. Om man skriver vad den slingan med siffror betyder vad gäller värde blir det ju i själva verket
analogt med att om vi bara har det decimala talet 104600120 så blir det
För att kontrollera att (104600120)8 är delbart på 8 dividerar vi varje term ovan med 8
Nu är dock varje term redan en multipel utav 8 så resten vid varje division kommer att bli 0, eftersom det går jämnt ut.
För att kontrollera att (104600120)8 är delbart på 7 dividerar vi varje term ovan med 7
Eftersom att vi har en multipel med 8 i alla termer ovan så kan det vara värt att se vad resten blir då man tar en multipel av 8 delat på 7. Observera att så snart som en term involverar att man dividerar 7 med 7 kan man ta bort den termen eftersom den går jämnt ut och därmed inte påverkar vad resten kommer bli.
Och så vidare.
Om vi då hade
så kan vi göra uppdelningen
Sedan kan man fortsätta på samma vis för att ersätta alla 8n-termer igen tills att man slutligen kommer komma fram till
Om den summan går jämnt ut med 7 så delar 7 talet.
Man kan använda ovanstående bevisföringsmetod för att bevisa att siffersumman i alla tal delbara med 9 är en multipel av 9.
Jag är med på din lösning men inte hur facit har tänkt dvs. logiken
brunbjörn skrev:Gustor skrev:Det är inte hokus pokus, utan vanlig modulär aritmetik. Att x är kongruent med 0 modulo m är samma sak som att x är delbart med m. Om vi vill visa att ett tal är delbart med 56 = 7*8 så kan vi visa att x är kongruent med 0 mod 7 och mod 8.
Tillägg: 2 dec 2024 15:07
Att "räkna I " är samma sak som att räkna modulo 7, och samma för mod 8.
Jag kopplar inte logiken dock och därav känns det som magi... 😕 Varför just räkna i Z7 och Z8? (jag ser att 7 och 8 är delbart med 56 men det är även 14 x 4 såklart eftersom 8 x 7 = 4 x 2 x 7 = 14 x 4) så vi skulle också kunna "räkna i Z14 och Z4" Men basen för x är ju 8 och därav antar jag att Z8 blir praktiskt... men asså jag fattar inte logiken det där med att "räkna i Z7 eller Z8 " känns inte logiskt alls... det faller inte naturligt för mig
Jag tycker du svarar bra på din egen fråga. Logiken är att dels är 7*8=56, och dels är tal i bas 8 lätta att räkna mod 8. Tänk om det är bas 10 istället: ett tal i bas 10 modulo 10 blir lika med entalssiffran. Detsamma gäller för tal i bas b modulo b. I vårt fall är entalssiffran 0 i talet i bas 8, så talet mod 8 blir 0.
Tillägg: 2 dec 2024 15:38
Tal i bas 8 är också relativt lätta att räkna mod 7, eftersom alla 8:or är kongruenta med 1.
Gustor skrev:brunbjörn skrev:Gustor skrev:Det är inte hokus pokus, utan vanlig modulär aritmetik. Att x är kongruent med 0 modulo m är samma sak som att x är delbart med m. Om vi vill visa att ett tal är delbart med 56 = 7*8 så kan vi visa att x är kongruent med 0 mod 7 och mod 8.
Tillägg: 2 dec 2024 15:07
Att "räkna I " är samma sak som att räkna modulo 7, och samma för mod 8.
Jag kopplar inte logiken dock och därav känns det som magi... 😕 Varför just räkna i Z7 och Z8? (jag ser att 7 och 8 är delbart med 56 men det är även 14 x 4 såklart eftersom 8 x 7 = 4 x 2 x 7 = 14 x 4) så vi skulle också kunna "räkna i Z14 och Z4" Men basen för x är ju 8 och därav antar jag att Z8 blir praktiskt... men asså jag fattar inte logiken det där med att "räkna i Z7 eller Z8 " känns inte logiskt alls... det faller inte naturligt för mig
Jag tycker du svarar bra på din egen fråga. Logiken är att dels är 7*8=56, och dels är tal i bas 8 lätta att räkna mod 8. Tänk om det är bas 10 istället: ett tal i bas 10 modulo 10 blir lika med entalssiffran. Detsamma gäller för tal i bas b modulo b. I vårt fall är entalssiffran 0 i talet i bas 8, så talet mod 8 blir 0.
Tillägg: 2 dec 2024 15:38
Tal i bas 8 är också relativt lätta att räkna mod 7, eftersom alla 8:or är kongruenta med 1.
Kan du ge ett exempel på en liknande uppgift i bas 10?
Visa att (1428570)10 är jämnt delbart på 90.
Bedinsis skrev:Visa att (1428570)10 är jämnt delbart på
Det känns som att jag bara har memorerat själva tricket men asså jag fattar inte vad jag gör rent logiskt ☹️ det där med Zm känns flummigt
Om du har svårt att se varför det är praktiskt att räkna i Z8 då vi har ett tal uttryckt i talbasen 8 (istället för t.ex. Z4 och Z14 som du föreslog) besvara frågan: varför är det praktiskt att räkna med Z10 då vi har med ett tal uttryckt i talbasen 10 (istället för t.ex. Z2 och Z45 som skulle vara gångbara om vi vill se om talet är delbart med 90)?
Bedinsis skrev:Om du har svårt att se varför det är praktiskt att räkna i Z8 då vi har ett tal uttryckt i talbasen 8 (istället för t.ex. Z4 och Z14 som du föreslog) besvara frågan: varför är det praktiskt att räkna med Z10 då vi har med ett tal uttryckt i talbasen 10 (istället för t.ex. Z2 och Z45 som skulle vara gångbara om vi vill se om talet är delbart med 90)?
Det jag har svårt att fatta är hur det kommer sig att bara för att det gäller i Z7 (ursprungsuppgiften) så gäller det allmänt också... det känns bara så konstigt att vi kan ersätta 8 med 1 ( 8 = 1 i Z7 eftersom 8 mod 7 = 1) men det känns bara luddigt att vi bara kan byta ut 8 med 1 och utifrån det konstatera att 7 | x
7:s motsvarighet i exemplet jag skrev är 9; 8:s motsvarighet i exemplet jag skrev är 10.
Orsaken till att man kunde ersätta 8 med 1 i Z7 har jag beskrivit i inlägg #3, där det visade sig att 8n får 1 i rest då man dividerade med 7.
Motsvarande resonemang bör vara att räkna ut resten vid division av tiopotenser med 9. Detta är:
Man kan också se det som att en tiopotens kan skrivas om som en radda nior + 1, t.ex. 105=100000=99999+1, och den får ju resten 1 då man dividerar med 9.
Jag vet inte om du redan begripit detta och jag därmed inte hjälper något.
