Visa att talet är delbart med 4

Hej,

jag försöker lösa följande uppgift: "Visa att $5^{n + 1} - 1$ är delbart med 4, för alla $n \geq 0$ ".

För n = 1 har vi följande: $5^{1 + 1} - 1 = 5^{2} - 1 = 25 - 1 = 24$ . Då kan vi anta att $5^{k + 1} - 1 = 24 m$ för något tal m.

Talet 24 är ju delbart med 4, men hur ska jag visa att det ursprungliga uttrycket är delbart med 4 för alla $n \geq 0$ ?

Skulle någon kunna vara snäll och hjälpa mig på traven? :)

Antag att påståendet är sant för något naturligt tal n = k, d.v.s. att $5^{k + 1} - 1 = 4 q$ , där q är något heltal. Försök nu visa att detta antagande implicerar att påståendet är sant även för n = k+1, d.v.s. att $5^{(k + 1) + 1} - 1 = 4 p$ , där p är något heltal. Eftersom du mer eller mindre redan visat att påståendet är sant för n = 1 (24 är ju delbart med 4) så följer det då av principen om induktion att det är sant för alla naturliga tal n = 1,2,... Fallet n = 0 är också trivialt.

För att visa att $5^{k + 1} - 1 = 4 q \Rightarrow 5^{k + 2} - 1 = 4 p$ kan vi multiplicera sambandet i hypotesen med 5 vilket ger $5 (5^{k + 1} - 1) = 5 (4 q) \Rightarrow 5^{k + 2} - 5 = 4 (5 q) \Rightarrow 5^{k + 2} - 1 = 20 q + 4 = 4 (5 q + 1) = 4 p, d ä r p = 5 q + 1 ä r e t t h e l t a l$

Svara