Visa att talet alltid är delbart med 6*8

Låt det första talet vara   2n  där  n ≥ 1 .
Dä är det andra   2n + 2
och det tredje   2n + 4

Ställ upp produkten av dem.
Den är uppenbarligen delbar med   2*2*2 =8 

etc

-------------------------------
Varifrån kom sidan med uträkningar?
Jag såg inte den 

Arktos skrev:

Låt det första talet vara   2n  där  n ≥ 1 .
Dä är det andra   2n + 2
och det tredje   2n + 4

Ställ upp produkten av dem.
Den är uppenbarligen delbar med   2*2*2 =8 

etc

-------------------------------
Varifrån kom sidan med uträkningar?
Jag såg inte den 

Emm har alltid varit där? :)

Sedan står det bevis och inte Induktionsbevis så man kanske inte ska göra det?

När man ska bevisa ett påstående finns inga regler som anbefaller vilken bevismetod som skall brukas, utan det är valfritt.

Jag testade också med att visa att 6*8 alltid är en delare genom att visa 6 är en delare först. Och  sedan visade att 8 är delare av det som är kvar. Men då var det inte med hjälp av Induktionsbevis. 

Detta hade funkat förutsatt att $6$ och $8$ är relativt prima, vilket de inte är. Tag tex. talet $12$. Det är delbart med både $4$ och $6$, men inte med $4 \cdot 6=24$.

Ditt induktionsbevis ser rätt ut. Du är egentligen klar med det när du skriver $(2p+2)(2p+4)(2p+6)=(6 \cdot 8)k + 24(p+1)(p+2)$. Termen $(6 \cdot 8)k$ är delbar med $6 \cdot 8$. I tillägg är åtminstone en av $p+1$ och $p+2$ jämn (eftersom de är påföljande heltal) vilket betyder att $(p+1)(p+2)$ bidrar med faktor $2$ till $24(p+1)(p+2)$ som i sin tur betyder att även $24(p+1)(p+2)$ är delbar med $6 \cdot 8$. Summan av två termer, vardera delbar med $6 \cdot 8$, är delbar med $6 \cdot 8$.

Gällande beräkningarna, gjorde jag typ rätt? Men du faktoriserade på ett annat sätt. 

”Termen är delbar med . I tillägg är åtminstone en av och jämn (eftersom de är påföljande heltal) vilket betyder att bidrar med faktor till som i sin tur betyder att även är delbar med . Summan av två termer, vardera delbar med , är delbar med .” 

Kan du förklara det med andra ord? Förstår inte riktigt. 

”Termen är delbar med . I tillägg är åtminstone en av och jämn (eftersom de är påföljande heltal) vilket betyder att bidrar med faktor till som i sin tur betyder att även är delbar med . Summan av två termer, vardera delbar med , är delbar med .” 

Kan du förklara det med andra ord? Förstår inte riktigt. 

Produkten av två påföljande heltal är alltid jämnt eftersom heltalen alternerar mellan jämnt och udda ($1$=udda, $2$=jämn, $3$=udda, $4$=jämn,...). Tar man två intilliggande heltal kommer en av dem alltid att innehålla ett jämnt tal vilket förklarar varför produkten av dem alltid kommer jämnt. (Tex. $1 \cdot 2=2$, $2 \cdot 3=6$, $3 \cdot 4=12$, osv är alla jämna tal.)

Alla jämna tal har primtalsdelaren $2$, vilket betyder att $(p+1)(p+2)$ (som är produkten av två påföljande tal, alltså jämnt) kan skrivas på formen $2a$, där $a$ är något heltal. Sålunda blir $24(p+1)(p+2) = 24(2a)=48a=(6 \cdot 8)a$. Det jag menar med att $(p+1)(p+2)$ "bidrar" med faktor $2$ är alltså tvåan i $2a$. Hänger du med?

Gällande beräkningarna, gjorde jag typ rätt? Men du faktoriserade på ett annat sätt. 

Ja, det skulle jag säga.

Jo, när du skriver det så. Kanske ska räkna om den. 

Och sen b uppgiften. Jag gav upp på Induktionsbevis efter a uppgiften så detta kan vara helt fel. Ser det någorlunda rätt ut? Kunde bevisa att det gäller för siffrorna de skrev i uppgiften. Den nedre delen sökte jag upp så… Är ganska säker att det är jättefel. 

Hejsan266 skrev:

Jo, när du skriver det så. Kanske ska räkna om den. 

Och sen b uppgiften. Jag gav upp på Induktionsbevis efter a uppgiften så detta kan vara helt fel. Ser det någorlunda rätt ut? Kunde bevisa att det gäller för siffrorna de skrev i uppgiften. Den nedre delen sökte jag upp så… Är ganska säker att det är jättefel. 

Nejdå, det ser helt riktigt ut! Det sista du behöver visa är alltså att $m(m+1)(m+2) \cdots (m+n-1)$ är delbart med $n!$. Har du jobbat med binomialkoefficienter innan?

Darth Vader skrev:

Hejsan266 skrev:

Jo, när du skriver det så. Kanske ska räkna om den. 

Och sen b uppgiften. Jag gav upp på Induktionsbevis efter a uppgiften så detta kan vara helt fel. Ser det någorlunda rätt ut? Kunde bevisa att det gäller för siffrorna de skrev i uppgiften. Den nedre delen sökte jag upp så… Är ganska säker att det är jättefel. 

Nejdå, det ser helt riktigt ut! Det sista du behöver visa är alltså att $m(m+1)(m+2) \cdots (m+n-1)$ är delbart med $n!$. Har du jobbat med binomialkoefficienter innan?

Nope

Hejsan266 skrev:

Darth Vader skrev:

Visa föregående citat

Hejsan266 skrev:

Jo, när du skriver det så. Kanske ska räkna om den. 

Och sen b uppgiften. Jag gav upp på Induktionsbevis efter a uppgiften så detta kan vara helt fel. Ser det någorlunda rätt ut? Kunde bevisa att det gäller för siffrorna de skrev i uppgiften. Den nedre delen sökte jag upp så… Är ganska säker att det är jättefel. 

Nejdå, det ser helt riktigt ut! Det sista du behöver visa är alltså att $m(m+1)(m+2) \cdots (m+n-1)$ är delbart med $n!$. Har du jobbat med binomialkoefficienter innan?

Nope

Med binomialkoefficienter kan man skriva $\frac{m(m+1)(m+2) \cdots (m+n-1)}{n!} = {{m+n-1}\choose{n}}$ som alltid är ett heltal (kombinatorik).

Om man inte ska använda binomialkoefficienter skulle jag tro att man nästan är tvungen att utnyttja induktion igen.

Emm vi har inte jobbat med kombinatorik eller binomialkoefficienter så förstår inte det. Kanske man lär sig sen? 

Jag ska nog göra en induktion då. Skriver man n=p+1 i induktionssteget? Så att det i nämnaren blir (p+1)!? 

Knepet är att utnyttja samma princip som tidigare.

Skriver man n=p+1 i induktionssteget? Så att det i nämnaren blir (p+1)!? 

Ja.

Darth Vader skrev:

Knepet är att utnyttja samma princip som tidigare.

Visa spoiler

Bland vilka som helst $n$ påföljande heltal finns alltid ett som är delbart med $n$.

Jag har kommit så här långt. Men jag har n i täljaren och p i nämnaren så jag vet inte hur jag ska fortsätta.

I steg 3 saknar borde det stå $2^{p+1}$ i täljaren (saknar en två).

Egentligen räcker det med att du bara visar påståendet "produkten av $n$ påföljande heltal är delbar med $n!$" mha. induktion.

Så av induktionsantagandet vet du att $m(m+1)(m+2) \cdots (m+p-1)$ är delbar med $p!$. Du ska visa att $m(m+1)(m+2) \cdots (m+p)=m(m+1)(m+2) \cdots (m+p-1) \cdot (m+p)$ är delbar med $(p+1)!=(p+1)p!$. Det finns två fall att betrakta:

Fall 1. Någon av talen $m,m+1,m+2, \ldots , m+p-1$ är delbar med $p+1$.

Fall 2. Ingendera $m,m+1,m+2, \ldots , m+p-1$ är delbar med $p+1$.

Försök att använda principen som nämndes innan. Kommer du vidare?

Hur får jag 2^p+1? P står för antalet termer och 1 står för att produkten alltid kommer bli jämn?

Hur kommer jag fram till (m+p-1)p!? För jag har endast kommit fram till (m+p-1) som den sista faktorn. Till sist måste jag kolla på fall 1 och 2?

Hejsan266 skrev:

Arktos skrev:

Låt det första talet vara   2n  där  n ≥ 1 .
Dä är det andra   2n + 2
och det tredje   2n + 4

Ställ upp produkten av dem.
Den är uppenbarligen delbar med   2*2*2 =8 

etc

-------------------------------
Varifrån kom sidan med uträkningar?
Jag såg inte den 

Emm har alltid varit där? :)

Oj, jag skrollade inte ner ordentligt!

Jag tänkte mig något i den här stilen:

Först visa att hela produkten är delbar med  8 :
2n * 2(n + 1) * 2(n + 2) =

= 2*2*2 * n(n + 1)(n +2) =

= 8 * n(n + 1)(n +2)

Sedan visa att   n(n + 1)(n +2)  är delbar med  6  (utan induktion) :
I produkten n(n + 1)(n +2) [tre konsekutiva heltal]
är     precis ett av talen delbart med 3

och  minst ett av dem delbart med 2

Produkten är därför delbar med 6

Därmed skulle saken vara klar
Eller är detta för kortfattat?

Arktos skrev:

Hejsan266 skrev:

Visa föregående citat

Arktos skrev:

Låt det första talet vara   2n  där  n ≥ 1 .
Dä är det andra   2n + 2
och det tredje   2n + 4

Ställ upp produkten av dem.
Den är uppenbarligen delbar med   2*2*2 =8 

etc

-------------------------------
Varifrån kom sidan med uträkningar?
Jag såg inte den 

Emm har alltid varit där? :)

Oj, jag skrollade inte ner ordentligt!

Jag tänkte mig något i den här stilen:

Först visa att hela produkten är delbar med  8 :
2n * 2(n + 1) * 2(n + 2) =

= 2*2*2 * n(n + 1)(n +2) =

= 8 * n(n + 1)(n +2)

Sedan visa att   n(n + 1)(n +2)  är delbar med  6  (utan induktion) :
I produkten n(n + 1)(n +2) [tre konsekutiva heltal]
är     precis ett av talen delbart med 3

och  minst ett av dem delbart med 2

Produkten är därför delbar med 6

Därmed skulle saken vara klar
Eller är detta för kortfattat?

Nope förstår precis. Jag tänkte något liknande den andra gången men inte precis så där.

Så man får dela upp beviset först i att den delare är 8 och sedan 6, eller? Jag kanske uppfattade det darth vader skrev fel då. För jag forstod det som att man inte fick göra så. Däremot vet jag inte vad relativt prima betyder heller så…

Två heltal är relativt prima om de saknar gemensamma primfaktorer.

Har jag missat något här?  Då har jag något att lära mig.

Berätta!  Vad står det i din bok om sådant?
8n(n + 1)(n +2)  borde vara delbar med 48  (trodde jag).
Ser du något motexempel?

I boken står det endast om hur man hittar en delare som alltid fungerar. Som jag gjorde med 6 i induktionsbeviset. 

motexempel-vet inte. Kanske inte? Har inte jobbat med det, tror jag. 

Hej igen... Glöm det jag sa i inlägg #15. 

Som sagt, för att lösa b-uppgiften räcker det med att du visar att produkten 

$m(m+1)(m+2) \cdots (m+n-1),$

dvs. produkten av $n$ på varandra följande heltal är delbar med $n$, eftersom faktorn $2^{n}$ tillkommer från att varje parentes innehåller en $2$:a och att det finns exakt $n$ parenteser. Istället för att gå tillväga med induktion över $n$, prova istället induktion över $m$.

Jag har kommit så här långt. Jag tänker ju också att en av alla faktorer i täljaren måste vara delbar med 2. Det är bara p! Som jag inte är säker på. Men någon faktor i nämnaren måste ju också vara delbart med p,p-1,p-2 osv. 

Hejsan266 skrev:

Jag har kommit så här långt. Jag tänker ju också att en av alla faktorer i täljaren måste vara delbar med 2. Det är bara p! Som jag inte är säker på. Men någon faktor i nämnaren måste ju också vara delbart med p,p-1,p-2 osv. 

Du ska visa att $(2m)(2m+2)(2m+4) \cdots (2m+2(n-1))$ (produkten av $n$ påföljande jämna tal) är delbar med $2^{n}n!$. När du bryter ut alla $2$:or missar du en. Hur många parenteser finns med i produkten?

Darth Vader skrev:

Hejsan266 skrev:

Jag har kommit så här långt. Jag tänker ju också att en av alla faktorer i täljaren måste vara delbar med 2. Det är bara p! Som jag inte är säker på. Men någon faktor i nämnaren måste ju också vara delbart med p,p-1,p-2 osv. 

Du ska visa att $(2m)(2m+2)(2m+4) \cdots (2m+2(n-1))$ (produkten av $n$ påföljande jämna tal) är delbar med $2^{n}n!$. När du bryter ut alla $2$:or missar du en. Hur många parenteser finns med i produkten?

En mer än i steg 2.