Visa att skattningen är väntevärdesriktig

beep skrev:

Hej, jag tror jag skulle behöva hjälp med a-delen i denna uppgift och inte b men skriver ut hela uppgiften ändå

Slumpvariabeln är X $Re\left(-\theta ,\theta \right)$-fördelad med $\theta >0$.

För att skatta  θ används skattningen

$\theta * := \frac{n+1}{n}max\left|x_i\right|,$ där $x_i,...,x_n$ är ett slumpmässigt stickprov på X.

a) Visa att $\theta *$är väntevärdesriktig.

b) Ange en 95% övre konfidensgräns för $\theta$ baserat på stickprovet

0.38    1.25  -0.14   -1.13   0.19.

Försök till lösning på a-delen

En skattning är väntevärdesriktig om väntevärdet av skattningen är lika med det sanna parametervärdet dvs om

${\rm E}[\theta *] =\hspace{0.17em}\theta$. och då får vi 

$E\left[\frac{n+1}{n}max\right|x_i\left|\right]$, där jag vet att man kan bryta ut $\frac{n+1}{n}$ men vet inte hur jag ska behandla max av stickprovet. Har funderat om man kan använda max av fördelningsfunktionen men vet inte om det rätt väg eller inte.

Är du säker på $\frac{n+1}{n}$? Det skall inte vara $\frac{n+1}{n-1}$?

Trinity2 skrev:

Är du säker på $\frac{n+1}{n}$? Det skall inte vara $\frac{n+1}{n-1}$?

Ja, jag har dubbeltkollat. Det står så i alla fall i boken/kurslitteraturen.

beep skrev:

Trinity2 skrev:

Är du säker på $\frac{n+1}{n}$? Det skall inte vara $\frac{n+1}{n-1}$?

Ja, jag har dubbeltkollat. Det står så i alla fall i boken/kurslitteraturen.

Ja, de har rätt, jag missade absolutbeloppet i skattningen (vilket inte är vanligt vid denna typ av skattningar). Jag har en lösning om du ej har löst den på egen hand.

Skulle tacksamt ta emot en lösning. Lyckades än så länge inte lösa b-uppgiften heller men ska jobba vidare på den.

beep skrev:

Skulle tacksamt ta emot en lösning. Lyckades än så länge inte lösa b-uppgiften heller men ska jobba vidare på den.

Fråga mig ej varför det blir komplett röra, LaTeX-koden är korrekt....

Om $Y=\max(|X_i|)\le x$ måste samtliga $|X_i| \le x$ d.v.s. $-x \le X_i \le x$ för $i=1,2,...,n$, där $0 \le x \le \theta$ (det senare är viktigt vilket vi skall se senare).

Vi börjar med täthetsfunktionen för en godtycklig s.v. $X_i$, den är $f_{X_i}(x)=1/(2\theta)$, $-\theta \le x \le \theta$. Det ger en fördelningsfunktion (integrera) som är $F_{X_i}(x)=(x+\theta)/(2\theta)$.

Fördelningsfunktionen för $Y$ ges av

$P[|X_i| \le x]=P[-x \le X_i \le x]=F_{X_i}(x)-F_{X_i}(-x)=t/\theta$, $i=1, 2, \ldots, n$

$F_Y(x)=P[\max(|X_i|) \le x]=\prod_{i=1}^n P[|X_i| \le x] = \prod_{i=1}^n (t/\theta)=(t/\theta)^n$ (vi antar oberoende s.v. $X_i$, $$i=1,2,\ldots,n$).</p> <p>Derivera nu $$F_Y(x)$$ för att få täthetsfunktionen för $$Y$,$f_Y(x)=n(t/\theta)^{n-1}\cdot1/\theta$$.</p> <p>Väntevärdet för $$Y$,$E[Y]$$ beräknas genom</p> <p>$$E[Y]=\int_{0}^{\theta} x f_Y(x)\,\mathrm{d}x=n\theta/(n+1)$$</p> <p>Notera undre integrationsgräns 0 eftersom $$Y=\max(|X_i|)>0$$ vilket vi noterade ovan, tidigt. Integralen är inte direkt komplicerad men kräver lite koncentration. Notera att vi får en faktor $$n/(n+1)$$ framför $$\theta$$ varför en skattning som kompenserar för detta med en faktor $$(n+1)/(n)$$ ger det korrekta väntevärdet $$\theta$$, d.v.s. en väntevärdesriktig skattning.

Trinity2 skrev:

Fråga mig ej varför det blir komplett röra, LaTeX-koden är korrekt....

Om $Y=\max(|X_i|)\le x$ måste samtliga $|X_i| \le x$ d.v.s. $-x \le X_i \le x$ för $i=1,2,...,n$, där $0 \le x \le \theta$ (det senare är viktigt vilket vi skall se senare).

Vi börjar med täthetsfunktionen för en godtycklig s.v. $X_i$, den är $f_{X_i}(x)=1/(2\theta)$, $-\theta \le x \le \theta$. Det ger en fördelningsfunktion (integrera) som är $F_{X_i}(x)=(x+\theta)/(2\theta)$.

Fördelningsfunktionen för $Y$ ges av

$P[|X_i| \le x]=P[-x \le X_i \le x]=F_{X_i}(x)-F_{X_i}(-x)=t/\theta$, $i=1, 2, \ldots, n$

$F_Y(x)=P[\max(|X_i|) \le x]=\prod_{i=1}^n P[|X_i| \le x] = \prod_{i=1}^n (t/\theta)=(t/\theta)^n$ (vi antar oberoende s.v. $X_i$, $i=1,2,\ldots,n$).

Derivera nu $F_Y(x)$ för att få täthetsfunktionen för $Y$, $f_Y(x)=n(t/\theta)^{n-1}\cdot1/\theta$.

Väntevärdet för $Y$, $E[Y]$ beräknas genom

$E[Y]=\int_{0}^{\theta} x f_Y(x)\,\mathrm{d}x=n\theta/(n+1)$

Notera undre integrationsgräns 0 eftersom $Y=\max(|X_i|)>0$ vilket vi noterade ovan, tidigt. Integralen är inte direkt komplicerad men kräver lite koncentration. Notera att vi får en faktor $n/(n+1)$ framför $\theta$ varför en skattning som kompenserar för detta med en faktor $(n+1)/(n)$ ger det korrekta väntevärdet $\theta$, d.v.s. en väntevärdesriktig skattning.

beep skrev:

Trinity2 skrev:

Fråga mig ej varför det blir komplett röra, LaTeX-koden är korrekt....

Om $Y=\max(|X_i|)\le x$ måste samtliga $|X_i| \le x$ d.v.s. $-x \le X_i \le x$ för $i=1,2,...,n$, där $0 \le x \le \theta$ (det senare är viktigt vilket vi skall se senare).

Vi börjar med täthetsfunktionen för en godtycklig s.v. $X_i$, den är $f_{X_i}(x)=1/(2\theta)$, $-\theta \le x \le \theta$. Det ger en fördelningsfunktion (integrera) som är $F_{X_i}(x)=(x+\theta)/(2\theta)$.

Fördelningsfunktionen för $Y$ ges av

$P[|X_i| \le x]=P[-x \le X_i \le x]=F_{X_i}(x)-F_{X_i}(-x)=x/\theta$, $i=1, 2, \ldots, n$

$F_Y(x)=P[\max(|X_i|) \le x]=\prod_{i=1}^n P[|X_i| \le x] = \prod_{i=1}^n (x/\theta)=(x/\theta)^n$ (vi antar oberoende s.v. $X_i$, $i=1,2,\ldots,n$).

Derivera nu $F_Y(x)$ för att få täthetsfunktionen för $Y$, $f_Y(x)=n(x/\theta)^{n-1}\cdot1/\theta$.

Väntevärdet för $Y$, $E[Y]$ beräknas genom

$E[Y]=\int_{0}^{\theta} x f_Y(x)\,\mathrm{d}x=n\theta/(n+1)$

Notera undre integrationsgräns 0 eftersom $Y=\max(|X_i|)>0$ vilket vi noterade ovan, tidigt. Integralen är inte direkt komplicerad men kräver lite koncentration. Notera att vi får en faktor $n/(n+1)$ framför $\theta$ varför en skattning som kompenserar för detta med en faktor $(n+1)/(n)$ ger det korrekta väntevärdet $\theta$, d.v.s. en väntevärdesriktig skattning.

Tack. Jag ser att jag slarvat lite med variablerna, men jag tror du kan rätta till det när du räknar igenom det. $t$ skall ibland vara $x$ t.ex. för $F_Y(x)$ och för $f_Y(x)$. (Jag rättade ovan.)

Tack för ett mycket fint svar, har nu kollat igenom det och förstått. En konstig sak jag stötte på var när jag partialintegrerade integralen, men gjorde nu annorlunda och det löste sig. Har förstått bättre nu också hur man hanterar absolutbelopp i fördelningsfunktioner. 

Det var förresten ett $ som saknades i LaTeX-koden :)