Visa att sambandet stämmer med hjälp av räknereglerna (diskret matematik)

Visa att sambandet stämmer med hjälp av räknereglerna. Ange i varje steg vilken regel du använder

$(A \cup B) \cap {(A \cup B)}^{c} = (A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B)$

VL: jag kan multiplicera in c till $(A^{c} \cap B^{c})$ men det hjälper ju mig inte, vad mer ska man göra eller tänka?

är det med c jag ska leka med eller vadå?

Har du ritat ett Venn-diagram? Det är i alla fall så jag skulle börja. Därefter kan det vara dags att applicera räknereglerna.

Multiplicera in c låter mysko. C är inte något man kan multiplicera med, det betyder komplement.

Men stämmer sambandet? Låt oss ta A = {1, 2}, A^C = {3, 4}, B = {1, 3}, B^C = {2, 4}.

A snitt B^C = {2}, A^C snitt B = {3}, så högra sidan blir {2, 3}.

Edit: Gissning: det ska stå bara (A union B)^C på vänstra sidan.

Är du säker på att VL inte skall vara

$(A \cup B) \cap {(A \cap B)}^{C}$ ?

För i så fall

VL = distributiva lagarna = $(A \cap {(A \cap B)}^{C}) \cup (B \cap {(A \cap B)}^{C})$ = de Morgans lagar =

$(A \cap (A^{C} \cup B^{C})) \cup (B \cap (A^{C} \cup B^{C}))$ = distributiva lagarna =

$((A \cap A^{C}) \cup (A \cap B^{C})) \cup ((B \cap A^{C}) \cup (B \cap B^{C})) = (\emptyset \cup (A \cap B^{C})) \cup ((B \cap A^{C}) \cup \emptyset) =$

$(A \cap B^{C}) \cup (B \cap A^{C})$ = kommutativa lagarna = HL.

Ovan har vi även utnyttjat reglerna $X \cap X^{C} = \emptyset$ och $Y \cup \emptyset = \emptyset \cup Y = Y .$ Men jag kommer inte i håg namnen på dessa.

Venndiagram kan underlätta:

Notera den fixa grundmängden U, så att A och B är delmängder av U.

Försök vidare på egen hand.

Svara

Visa senaste svar