Visa att R är en partialordning på Z
En relation är en partialordning om den är reflexiv, anti-symmetrisk samt transitiv.
Jag fattar inte hur man kan förklara hur relationen är anti-symmetrisk samt transitiv? Jag förstår defintionerna men jag tycker att facits svar är otydlig...
Om aRb så är a-b = 2k för något heltal k som är större än eller lika med noll.
Om bRa så är b-a = 2m för något heltal m som är större än eller lika med noll.
Vidare gäller det naturligtvis att a-b = -(b-a).
Mha ovan så kan du visa att k = m = 0. Därmed så är a-b = 0 och således är a = b.
För transitivitet så kan du använda att c - a = (c - b) + (b - a).
PATENTERAMERA skrev:Om aRb så är a-b = 2k för något heltal k som är större än eller lika med noll.
Om bRa så är b-a = 2m för något heltal m som är större än eller lika med noll.
Vidare gäller det naturligtvis att a-b = -(b-a).
Mha ovan så kan du visa att k = m = 0. Därmed så är a-b = 0 och således är a = b.
Menar du såhär? 
Gustor skrev:För transitivitet så kan du använda att c - a = (c - b) + (b - a).
fattar inte vad du menar riktigt...
brunbjörn skrev:Gustor skrev:För transitivitet så kan du använda att c - a = (c - b) + (b - a).
fattar inte vad du menar riktigt...
Om aRb och bRc, så ska du visa att aRc. Använd definitionen av R.
Tillägg: 25 nov 2024 13:56
Lösningsförslaget skriver det som a - c = a - b + (b - c).
Gustor skrev:brunbjörn skrev:Gustor skrev:För transitivitet så kan du använda att c - a = (c - b) + (b - a).
fattar inte vad du menar riktigt...
Om aRb och bRc, så ska du visa att aRc. Använd definitionen av R.
Tillägg: 25 nov 2024 13:56
Lösningsförslaget skriver det som a - c = a - b + (b - c).
Jo jag vet men förstår ej vad facit menar... jag fattar att likheten gäller såklart men fattar ej resonemanget
Vi vill visa att om aRb och bRc så är aRc.
Att aRb betyder att a-b är ett ickenegativt jämnt tal.
Att bRc betyder att b-c är ett ickenegativt jämnt tal.
Summan av två ickenegativa jämna tal är ett ickenegativt jämnt tal, så (a-b) + (b-c) = a-c är ett ickenegativt jämnt tal. Men detta betyder precis att aRc, vilket var det vi ville visa.
Alltså är R transitiv.
Gustor skrev:Vi vill visa att om aRb och bRc så är aRc.
Att aRb betyder att a-b är ett ickenegativt jämnt tal.
Att bRc betyder att b-c är ett ickenegativt jämnt tal.
Summan av två ickenegativa jämna tal är ett ickenegativt jämnt tal, så (a-b) + (b-c) = a-c är ett ickenegativt jämnt tal. Men detta betyder precis att aRc, vilket var det vi ville visa.
Alltså är R transitiv.
Tack!!
brunbjörn skrev:PATENTERAMERA skrev:Om aRb så är a-b = 2k för något heltal k som är större än eller lika med noll.
Om bRa så är b-a = 2m för något heltal m som är större än eller lika med noll.
Vidare gäller det naturligtvis att a-b = -(b-a).
Mha ovan så kan du visa att k = m = 0. Därmed så är a-b = 0 och således är a = b.
Menar du såhär?
Nja, jag tänkte så här.
2k = a - b = -(b - a) = -2m => 2(m + k) = 0 <=> m + k = 0. Men eftersom m och k inte får vara negativa så implicerar m + k = 0 att m = k = 0. Därmed så gäller det att a - b = 0 så att a = b.
