Visa att punkterna ligger på en cirkel

Finns det några satser om ortocentrum (skärningspunkten mellan höjderna)
som kan vara användbara?

https://sv.wikipedia.org/wiki/Ortocentrum

https://en.wikipedia.org/wiki/Altitude_(triangle)#Orthocenter

eller här     https://en.wikipedia.org/wiki/Orthocentric_system

Kan det ge någon ledning att tillfoga motsvarande figurer
som utgår från  B  och  C  ?  Dvs med radier  BH  resp  CH.

Vad mycket det finns som man ännu inte hört talas om!
Varifrån kommer uppgiften?

Tillägg: 28 jul 2023 13:42

---------------------------

Jag menade förstås  
figurer som utgår från  A  och  B .  Med radier  AH  och  BH.

Här kan vi använda oss av en av följdsatserna till randvinkelsatsen.
"Randvinklar till en halvcirkelbåge är räta vinklar"

Först grovskissar vi hur en cirkel kan se ut mellan de punkter vi fått.

Sedan drar vi linjer, markerade med gult, som bildar kordor i vår nya cirkel.
Därefter utnyttjar vi vår sats och drar vinkelräta linjer från var och en av kordorna.
Sist en linje från H till punkten där våra linjer möts.
Om vi uppskattar mitten på den linjen som delar vår nya cirkel i två lika stora delar så kan vi se att det blir en cirkel som egentligen ska gå igenom alla de punkter vi har. Min skiss är dock för grovuppskattad för att få en exakt punkt.

Poängen med min skiss är att mha. satsen "Randvinklar till en halvcirkelbåge är räta vinklar" kan vi visa att punkterna B,D,H,A,E ligger på en cirkel.

Vacker skiss!  
Men resonemanget bygger väl på att de nya linjerna verkligen skär varann i samma punkt?
Vi behöver väl också omvändningen till satsen "Randvinklar till en halvcirkelbåge är räta vinklar"?
Jag funderar vidare…

Utgår inte resonemanget från att punkterna faktiskt ligger på en cirkel?

Arktos skrev:

Vacker skiss!  
Men resonemanget bygger väl på att de nya linjerna verkligen skär varann i samma punkt?
Vi behöver väl också omvändningen till satsen "Randvinklar till en halvcirkelbåge är räta vinklar"?
Jag funderar vidare…

Bra! Jag funderar också vidare hur man tvärsäkert kan säga att inte en av punkterna kanske bara ligger någon millimeter fel? Kan vi säkert bestämma det?

Geometri är kul!

Instämmer!

Nedanstående artikel ur The American Mathematical Monthly kanske inte löser problemet men måhända ger frågeställaren input att komma vidare.

https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Kocik.pdf

Det finns även en ledtråd till uppgiften som lyder såhär :

Mycket Intressant!
Och även här verkar ortocentrum  vara "i centrum".
Den ska jag läsa ordentligt.

Och referenserna visar att den euklidiska geometrin har fortsatt att utvecklas långt in i våra dagar:
J. Casey (1888):  A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, 
R. Honsberger (1995):  Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry 

Det visste jag inte, hade inte ens tänkt på det.
Nu har jag lärt mig något nytt igen. Tack!

ConnyN skrev:

Arktos skrev:

Vacker skiss!  
Men resonemanget bygger väl på att de nya linjerna verkligen skär varann i samma punkt?
Vi behöver väl också omvändningen till satsen "Randvinklar till en halvcirkelbåge är räta vinklar"?
Jag funderar vidare…

Bra! Jag funderar också vidare hur man tvärsäkert kan säga att inte en av punkterna kanske bara ligger någon millimeter fel? Kan vi säkert bestämma det?

Geometri är kul!

Connys  inspirerande resonemang + figur
fick mig att skissa på början av ett bevis:

Väl valda kordor!

Alla utgår de från H, ortocentrum i triangeln ABC.

Då vet vi att  HB är vinkelrät mot AC
          och att HA är vinkelrät mot BC.
Då är linjen nedåt vänster från B parallell med AC
    och linjen nedåt höger från A parallell med BC.
Deras skärningspunkt kallar vi X.

Då blir väl fyrhörningen CAXB en romb?

HE och HD är radier i cirkeln.
Tangenterna till cirkeln i D och E skär varann i punkten  Y.
Är trianglarna  HEY  och  HDY rentav kongruenta?

Kan vi visa att  Y = X ?

Fyll gärna på!

Tillägg: 30 jul 2023 20:01

Fyrhörningen CAXB är ingen romb utan en parallellogram?

REVIDERAD TÄNKT BESLUTSGÅNG

Det är väl valda kordor i den tänkta cirkeln!

Alla utgår de från H, ortocentrum i triangeln ABC.
Då vet vi att  HB är vinkelrät mot AC och att HA är vinkelrät mot BC.

Linjen nedåt vänster från B är då parallell med AC
   och linjen nedåt höger från A år parallell med BC.
Beteckna deras skärningspunkt med  X.

Fyrhörningen CAXB är då en parallellogram.

HE och HD är radier i cirkeln.
Cirkelns tangenter i D och E  skär varann i punkten  Y.
Är trianglarna  HEY  och  HDY rentav kongruenta?

Kan vi visa att  Y = X ?

I så fall har vi en hoper rätvinkliga trianglar
med den gemensamma hypotenusan HY = HX ,
trianglarna HXB, HXD, HXA och HXE

Av omvändningen till Thales sats följer då att
punkterna  B, D, H, A, E  ligger på samma cirkel,
den som har HX som diameter.

(Det återstår alltså att visa att  X = Y )

Tillägg: 31 jul 2023 00:38

Här lägger jag  in Connys figur (från #3).
Punkterna  X  och  Y  ovan är den gemensamma(?) skärningspunkten nere till höger

Följande ritning är nog hjälpsam. :)

En genväg är att använda Eulers teorem och lägga referenssystemet på ett lämpligt ställe.

Om det räcker att visa att två motstående vinklar i en fyrhörning tillsammans är 180^o för att den skall vara inskrivningsbar i en cirkel, är ledtråden i #8 i stort sett hela lösningen. Om jag inte tänker alldeles fel.

Figurens vinkelangivelser följer av likformighet och likbenthet.

$2\alpha + 2\beta + 2\gamma =180$    (triangel ABC) och
$2v + 2\alpha + 2\beta = 180$   (triangel CED)
vilket ger v = $\gamma$,
vinkel EDH + vinkel EAH = 180,
Det finns en cirkel genom D, H, A och E.

På motsvarande sätt med den andra ledtråden.
Det finns en cirkel även genom  H, D, B och E och det måste vara samma cirkel.

Stort uppskattning till er alla för era olika ansträngningar! Jag måste erkänna att jag har fått en mängd kunskap genom att ta itu med denna uppgift, inklusive att använda Eulers teorem för geometriska problem.

Ibland förlorar man ur sikte att man har klassiska verktyg som likbenta och likformighet tillgängliga när man blir uppslukad av det stora sammanhanget, men jag är extra tacksam mot Louis för en fin lösning på problemet!

Geometri är kul!

Javisst, och därför har jag fortsatt stirra på figuren och ritat linjer kors och tvärs. Och en ny cirkel.

Lösningen som gavs tillsammans med uppgiften är elegant. Man visar relativt enkelt att det finns en cirkel som går genom punkterna.

Ändå var det inte den lösning jag ville ha, eftersom satsen man använder inte blir åskådliggjord och för mig inte känns så självklar. Jag hade tänkt mig en figur i Conny-stil där man faktiskt ritar in den nya cirkeln och med de vanligaste satserna (ingen Euler eller liknande som jag f ö inte är bekant med) arbetar sig fram till att alla punkterna ligger på den och ingen annanstans. Jag tänkte mig att man konstruerar den cirkel som går genom A, H och D (genom de gröna sträckorna), och sedan visar att även B och E ligger på den. Jag var nära att ge upp, men nu tror jag att jag har gjort det.

Figuren ser plottrig ut, men alla vinkelangivelser följer en efter en enkelt av triangelns vinkelsumma och likbenthet. De röda gamma beräknades i #12. Jag utvecklar förstås stegen om någon önskar det.

Och så följer till slut uppgiftens påstående beträffande B och E av randvinkelsatsen (vinklar på kordan AD) eller som en konsekvens av den. Om en vinkel som kan misstänkas vara en randvinkel står på samma cirkelbåge och är lika stor som en randvinkel är den också en randvinkel, dvs med spets på cirkeln.