Visa att processen innehållandes Wierner Process är en Martingale

Hej, har följande uppgift:

I alla de uppgifter jag gjort där jag visat att en Random Process är en Martingale så har jag gjort det genom att visa att Processen M_n uppfyller: $E\left(\right|M_n\left|\right)<\infty samt E\left(M_{n+1}\right|F_n) = M_n$

Tänker mig därför liknande approach här (då det är den enda vi lärt oss):

Så jag antar att jag vill visa dessa två: $E\left(\right|g\left(t\right)\sin \left(W\right(t\left)\right)\left|\right) < \infty , samt, E\left(g\right(t\left)\sin \right(W\left(t\right)\left)\right|F_s) =g(s\left)\sin \right(W\left(s\right))$

Har börjat med att försöka den senare av dessa:

$E\left[\right(g\left(t\right)\sin \left(W\right(t\left)\right)\left|F_s\right] = E\left[\right(g\left(t\right)\sin \left(W\right(t\left)\right) - g\left(s\right)\sin \left(W\right(s\left)\right) + g\left(s\right)\sin \left(W\right(s\left)\right)\left|F_s\right]$

={pga linjäritet i förväntat värde} = $E\left[\right(g\left(t\right)\sin \left(W\right(t\left)\right) - g\left(s\right)\sin \left(W\right(s\left)\right) \left|F_s\right] + E[ g(s\left)\sin \right(W\left(s\right)) |F_s]$

={pga $g\left(s\right)\sin \left(W\right(s\left)\right)$ är $F_s$ - measurable} = $E\left[\right(g\left(t\right)\sin \left(W\right(t\left)\right) - g\left(s\right)\sin \left(W\right(s\left)\right) \left|F_s\right] + g\left(s\right)\sin \left(W\right(s\left)\right)$

Om jag gjort rätt så ska: $E\left[\right(g\left(t\right)\sin \left(W\right(t\left)\right) - g\left(s\right)\sin \left(W\right(s\left)\right) \left|F_s\right] =\hspace{0.17em}0$, och det kanske det är m.t.p att alla increment är normally distributed med N(0, t-s). Men gäller det också när jag har en obekant funktion g(t) framför?

Jag måste ju fortfarande lösa ut g(t) och jag tar för givet att jag ska använda "hinten" på något sätt men förstår inte riktigt hur.

Innebär hinten att: $\cos \left(N\right(0,t\left)\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\cos (\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\hspace{0.17em}{e}^{-x^2/2t})\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{e}^{-t/2}$?

Tack på förhand! :)