Visa att om A är inverterbar så är det(M) = det(A)det(D-CA^{-1}B)

(Visst borde det stå att $A$ och $D$, inte $A$ och $B$ är kvadratiska matriser?)

Tips:

$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\C&I_a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_b&A^{-1}B\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$

där $I_a$ och $I_b$ är enhetsmatriser av lämplig storlek (kan du kanske precisera dessa storlekar närmare?).

Vad händer om du tar determinanten av vänsterled och högerled i detta?

AlvinB skrev:

(Visst borde det stå att $A$ och $D$, inte $A$ och $B$ är kvadratiska matriser?)

Tips:

$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\C&I_a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_b&A^{-1}B\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$

där $I_a$ och $I_b$ är enhetsmatriser av lämplig storlek (kan du kanske precisera dessa storlekar närmare?).

Vad händer om du tar determinanten av vänsterled och högerled i detta?

Jovars det blir rätt, men hur kommer man på det?

Dualitetsförhållandet skrev:

AlvinB skrev:

(Visst borde det stå att $A$ och $D$, inte $A$ och $B$ är kvadratiska matriser?)

Tips:

$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\C&I_a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_b&A^{-1}B\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$

där $I_a$ och $I_b$ är enhetsmatriser av lämplig storlek (kan du kanske precisera dessa storlekar närmare?).

Vad händer om du tar determinanten av vänsterled och högerled i detta?

Jovars det blir rätt, men hur kommer man på det?

Det är en LU-faktorisering. Är du bekant med sådana?

Om inte, här är hur vi skulle kunna ta fram en sådan här faktorisering.

En LU-faktorisering har ju formen

$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1&0\\X_2&X_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X_4&X_5\\0&X_6\end{pmatrix}$

Matrismultiplikation ger villkoren

$A=X_1X_4$

$B=X_1X_5$

$C=X_2X_4$

$D=X_2X_5+X_3X_6$

Systemet är underbestämt, så att vi kommer kunna välja två värden fritt (sex obekanta minus fyra ekvationer ger två fria parametrar). Låt oss börja med att låta $X_4=I_a$ (en lämplig enhetsmatris). Då ger första ekvationen $X_1=A$.

Andra ekvationen $B=X_1X_5$ blir då $B=AX_5$, d.v.s. $X_5=A^{-1}B$.

Tredje ekvationen $C=X_2X_4$ blir $C=X_2I_a$, d.v.s. $X_2=C$.

Sista ekvationen blir nu $D=CA^{-1}B+X_3X_6$. Här är två obekanta, så vi väljer $X_3=I_b$ (en annan lämplig enhetsmatris). Då fås $D=CA^{-1}B+X_6$, d.v.s. $X_6=D-CA^{-1}B$. Insättning av $X_1,...,X_6$ visar nu

$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\C&I_a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_b&A^{-1}B\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$

AlvinB skrev:

Dualitetsförhållandet skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

(Visst borde det stå att $A$ och $D$, inte $A$ och $B$ är kvadratiska matriser?)

Tips:

$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\C&I_a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_b&A^{-1}B\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$

där $I_a$ och $I_b$ är enhetsmatriser av lämplig storlek (kan du kanske precisera dessa storlekar närmare?).

Vad händer om du tar determinanten av vänsterled och högerled i detta?

Jovars det blir rätt, men hur kommer man på det?

Det är en LU-faktorisering. Är du bekant med sådana?

Om inte, här är hur vi skulle kunna ta fram en sådan här faktorisering.

En LU-faktorisering har ju formen

$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X_1&0\\X_2&X_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X_4&X_5\\0&X_6\end{pmatrix}$

Matrismultiplikation ger villkoren

$A=X_1X_4$

$B=X_1X_5$

$C=X_2X_4$

$D=X_2X_5+X_3X_6$

Systemet är underbestämt, så att vi kommer kunna välja två värden fritt (sex obekanta minus fyra ekvationer ger två fria parametrar). Låt oss börja med att låta $X_4=I_a$ (en lämplig enhetsmatris). Då ger första ekvationen $X_1=A$.

Andra ekvationen $B=X_1X_5$ blir då $B=AX_5$, d.v.s. $X_5=A^{-1}B$.

Tredje ekvationen $C=X_2X_4$ blir $C=X_2I_a$, d.v.s. $X_2=C$.

Sista ekvationen blir nu $D=CA^{-1}B+X_3X_6$. Här är två obekanta, så vi väljer $X_3=I_b$ (en annan lämplig enhetsmatris). Då fås $D=CA^{-1}B+X_6$, d.v.s. $X_6=D-CA^{-1}B$. Insättning av $X_1,...,X_6$ visar nu

$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\C&I_a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_b&A^{-1}B\\0&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$

Tack så mycket Alvin!!

Hur lyckas jag visa att det(I_n + xy^T) = 1 + y^{T}x?

Här kan vi utnyttja det faktum att en determinant är oförändrad ifall vi adderar en multipel av en rad/kolonn till en annan rad/kolonn. Detta faktum gäller även för blockmatriser, men notera att om en rad multipliceras med en matris multipliceras matrisen från vänster och om en kolonn multipliceras med en matris multipliceras matrisen från höger.

Vi börjar med en matris som har determinanten $\det(I_n+xy^T)$. En sådan är ju:

$\begin{pmatrix}I_n+xy^T&0\\0&1\end{pmatrix}$

Med elementära rad- och kolonnoperationer kan vi nu omvandla determinanten till

(Nu har jag utelämnat en del detaljer som du får fylla i, men jag hoppas nu att du förstår grundidén i hur vi gör.)

Kuriosa: En utvidgning av detta kallas ibland för determinantlemmat.

AlvinB skrev:

Här kan vi utnyttja det faktum att en determinant är oförändrad ifall vi adderar en multipel av en rad/kolonn till en annan rad/kolonn. Detta faktum gäller även för blockmatriser, men notera att om en rad multipliceras med en matris multipliceras matrisen från vänster och om en kolonn multipliceras med en matris multipliceras matrisen från höger.

Vi börjar med en matris som har determinanten $\det(I_n+xy^T)$. En sådan är ju:

$\begin{pmatrix}I_n+xy^T&0\\0&1\end{pmatrix}$

Med elementära rad- och kolonnoperationer kan vi nu omvandla determinanten till

(Nu har jag utelämnat en del detaljer som du får fylla i, men jag hoppas nu att du förstår grundidén i hur vi gör.)

Kuriosa: En utvidgning av detta kallas ibland för determinantlemmat.

Varför är det så att om en rad multipliceras med en matris så multipliceras matrisen från vänster och från höger för kolonner?

AlvinB skrev:

Här kan vi utnyttja det faktum att en determinant är oförändrad ifall vi adderar en multipel av en rad/kolonn till en annan rad/kolonn. Detta faktum gäller även för blockmatriser, men notera att om en rad multipliceras med en matris multipliceras matrisen från vänster och om en kolonn multipliceras med en matris multipliceras matrisen från höger.

Vi börjar med en matris som har determinanten $\det(I_n+xy^T)$. En sådan är ju:

$\begin{pmatrix}I_n+xy^T&0\\0&1\end{pmatrix}$

Med elementära rad- och kolonnoperationer kan vi nu omvandla determinanten till

(Nu har jag utelämnat en del detaljer som du får fylla i, men jag hoppas nu att du förstår grundidén i hur vi gör.)

Kuriosa: En utvidgning av detta kallas ibland för determinantlemmat.

När du adderar -y^T till första kolonnen så ser det ut som att du struntar i att multiplicera det med I_n + xy^T. Alltså första operationen

Elementära rad/kolonnoperationer på en matris kan alltid representeras av matrismultiplikation med en matris med determinanten ett. Till exempel kan den första operationen i min uträkning representeras med högermultiplikation med matrisen

$\begin{pmatrix}I_n&0\\-y^T&1\end{pmatrix}$

Så att det första steget kan skrivas:

$\begin{pmatrix}I_n+xy^T&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_n&0\\-y^T&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_n+xy^T&0\\-y^T&1\end{pmatrix}$

(notera här att determinanten för radoperationsmatrisen är ett, så att båda av de andra matriserna måste ha samma determinant).

Det visar sig att om man vill addera en multipel av en rad till en annan rad får man multiplicera en sådan här matris från vänster, och vill man addera en multipel av en kolonn till en annan kolonn får man multiplicera en sådan här matris från höger. Detta resulterar i att om en rad multipliceras med en matris multipliceras matrisen från vänster, medan om en kolonn multipliceras med en matris multipliceras matrisen från höger.

Angående det första steget:

Vi multiplicerar ju den högra kolonnen med $-y^T$ (och detta måste ju vara från höger, eftersom det är en kolonn) så att vi får kolonnen ${0\choose -y^T}$. Adderar vi sedan denna på den vänstra kolonnen borde ju den bli ${I_n+xy^T+0\choose 0-y^T}={I_n+xy^T\choose-y^T}$.